Linearity y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x) Second-order ODE는 위와 같이 Second-level Derivative가 최고 차수인 ODE를 말하며, 위와 같은 Standard Form으로 쓸 수 있을 때, Linear라고 하며, 그렇지 못할 때 Nonlinear라고 한다. 마찬가지로 y'' 대신 f(x)y'' 의 형태로 되어있는 경우 양변을 f(x)로 나누어야 한다. Homogeneity y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 위와 같은 형태로 쓸 수 있는 경우 Homogeneous라고 하며, r(x)가 0이 아닌 경우 Nonhomogeneous라고 한다. 앞으로 알아보게 될 Second-order ODE는 Homogeneous와 Nonhomogeneous로 구..

Linear ODE y' + p(x)y = r(x) 어떤 First-order ODE를 위와같은 형태로 쓸 수 있을 때, 위 ODE를 linear하다고 말한다. 만약 첫번째 Term이 f(x)y' 와 같은 꼴이라면 식 전체를 f(x)로 나눠주면 된다. 보통 r(x)는 Input, 또는 Excitation으로 많이 사용되며, y(x)는 Output, Response로 사용된다. Homogeneous Linear ODE y' + p(x)y = 0 위와 같은 형태의 ODE를 Homogeneous Linear ODE 라고 하며, General Solution은 다음과 같은 방법으로 구할 수 있다. c=0라고 잡을 경우, 모든 x에 대해서 y(x) = 0 인 trivial solution을 구할 수 있다. Non..

General Form of Exact ODEs M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 Exact ODE는 위와 같은 형태를 가지는데, M(x,y), N(x,y)는, x와 y로 이루어진 식으로 생각하면 된다. 이러한 형태는 partial derivative로 바꾸어 쓸 수 있는데, 식에서도 알 수 있듯, 어떤 함수 u(x,y)가 Constant일때, 이 함수의 partial derivative의 모양이 곧 Exact ODE가 되는 것이다. 물론, 설명할 필요도 없이 du는 0이 된다. M(x,y), N(x,y)는 위와 같이 정의된다. 그런데, 식을 써보면 위와 같은 결론이 나오게 된다. 위 결론은 어떠한 ODE가 Exact ODE인지를 증명하는데 쓰인다. 한편, 함수 u는 다음과 같은 방법으로 구..

General Form of Separable ODEs g(y) y' = f(x)와 같은 형태의 ODE를 Separable ODE 라고 하며, 위와 같은 순서에 의해서 풀이를 구할 수 있다. 이 방법을 method of separating variables 라고 한다. 식만 봐서 잘 이해가 안 간다면, dy와 y에 관한 식, dx와 x에 관한 식, 두 식을 각각 양변에 놓은 후 양변을 부정적분하는 것으로 해를 구한다고 기억해 두면 되겠다. 구체적인 예제를 통해 어떻게 Solution을 구하는지 보도록 하자. Example 1 y' = 1 + y^2 어떤 ODE가 separable 하다면 위와 같은 식을 통해 풀어낼 수 있다. Modeling Problem Carbon-14가 Carbon-12로 붕괴하는 ..

개요 이 카테고리에서는 각종 물리적, 공학적 문제들에 대한 식을 세우는 Modeling 과정을 통해 문제를 수학적 Model로 환원한 다음, (아마도 Differential Equation이 될것이다.) 이에 대한 해법을 토대로 solution을 얻는 방법을 배우게 될 것이다. 먼저 제목에 쓰인 ODE란 Ordinary Differential Equation을 줄인 말이다. 그냥 보편적인 Differential Equation 정도로 생각하면 된다. First-order란 이미 알고 있겠지만 '1차의'라는 뜻으로, 즉 다시 말하면 1차 미분방정식이 되겠다. First-order ODE의 경우 first derivative만 포함되어있는 DE를 뜻한다. (번역하자면, 1번 미분된 미지수만 포함되어있는 DE..

Block Diagram - Delay Discrete-time에서 사용되는 Block Diagram으로는 Amplifier, Summing Junction, 그리고 Delay가 있다. Amplifier와 Summing Junction은 Continuous-time과 Discrete-time이 전혀 차이가 없는데다, 이미 앞서서 다뤘던 내용이므로 중복해서 다루지 않겠다. 관련 링크 : http://blastic.tistory.com/72 Delay는 위와 같이 그릴 수 있다. Delay는 하나의 index만큼 지연시켜서 output을 만들어 낸다. 한편 반대 의미의 Shift도 있으며 D 대신 S를 적어 넣는다. System Properties 마찬가지로 System Property 역시 별다른 차이가 ..