[First-order ODEs] Separable ODEs

General Form of Separable ODEs

g(y) y' = f(x)와 같은 형태의 ODE를 Separable ODE 라고 하며,

위와 같은 순서에 의해서 풀이를 구할 수 있다. 이 방법을 method of separating variables 라고 한다.

식만 봐서 잘 이해가 안 간다면, dy와 y에 관한 식, dx와 x에 관한 식, 

두 식을 각각 양변에 놓은 후 양변을 부정적분하는 것으로 해를 구한다고 기억해 두면 되겠다.

구체적인 예제를 통해 어떻게 Solution을 구하는지 보도록 하자.

Example 1

y' = 1 + y^2

어떤 ODE가 separable 하다면 위와 같은 식을 통해 풀어낼 수 있다.

Modeling Problem

Carbon-14가 Carbon-12로 붕괴하는 반감기는 5715년으로 알려져 있다.

석기시대의 미라가 발견됐는데 남아있는 Carbon-14가 52.5%라면, 

이 석기시대의 인간은 죽은지 얼마나 된 것일까?

이전 포스트에서 Exponential Decay에 대해서 배웠으므로, 이를 통해서 먼저 기본 ODE를 Modeling 할 수 있다.

y' = ky, y = ce^{kt} 의 기본식에서 우리는 먼저 k 값을 Determine할 필요가 있다.

먼저 반감기는 5715년이라고 했으므로 e^{kt} = e^{k * 5715} = 0.5 라는 식을 세울 수 있다.

k를 역으로 구해보면, k = ln 0.5 / 5715 = -0.0001213 이 된다.

(arbitrary constant c의 경우 Carbon-14가 Carbon-12로 붕괴하는 일정 비율로써, 

변하지 않는 것이므로 굳이 구할 필요가 없다.)

즉, y = ce^{-0.0001213t} 가 되는데, 

우리가 구하고자 하는 것은, e^{-0.0001213t} = 0.525 에서의 시간 t가 되므로, t를 구해보면, 

t = 5312 라는 것을 구할 수 있다.

Reduction to Separable Form

Nonseparable ODE의 경우, 이것을 Separable ODE로 바꿔서 풀 수 있다.

먼저 함수가 위와 같은 모양으로 만들 수 있어야 한다.

그리고 나서, 식의 y/x를 u로 치환한다. 이는, y = ux, y' = u'x + u로 변환이 가능하다.

이 식들을 다시 최초 함수에 대입하면, u'x + u = f(u) 가 되며,

(du/dx)x + u = f(u), 

(du/dx)x = f(u) - u, 

du / (f(u) - u) = dx / x 라는 Separable Form이 완성된다. 

이를 풀면, 결론적으로 Solution을 구할 수 있게 된다.

Example 2

2xyy' = y^2 - x^2

xy가 곱 형태로 붙어있기 때문에 따로 떼어놓을 수 없게 되었다.

이런 경우에는 Separable Form으로 변환을 해야한다. 위에서 배운대로 풀어보자.

위와 같이 General Solution을 구할 수 있다.

Solution Curve를 그려보면,

아래와 같이 구할 수 있다.