유도 Unit-sequence에 대한 Response를 g[n]이라고 잡자. 그려면 다음과 같이 식을 쓸 수 있다. 이미 알다시피 u[n]은 δ[n]의 묶음이라고 볼 수 있다. 식을 통해서는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 이제 두개의 식을 서로 묶어보자. 혼동을 막기 위해 u[n]쪽 Summation의 notation m 대신 p를 사용하겠다. 위 식의 괄호를 풀어내고 나서, 보면, δ[p]h[n-m]은 p = 0 일때만 0이 아닌 값을 가질 수 있다. 안쪽의 Summation에서 p는 -∞ 에서 m의 범위를 갖는데, 여기서 m은 바깥쪽 Summation의 범위를 따른다. 생각해보자. 바깥쪽이 m < 0 인 경우라면, 값은 언제나 0이 된다. 따라서 그러한 것들은 범위로 잡을 필요가 없다. 결론적으로 m..

본론에 앞서 Discrete-time LTI System에서 Impulse Response는 개별적으로 적용된다. 예를 들어 x[n] = δ[n] + δ[n-1] 이라고 한다면, 이 때의 Response y[n]은 x_1[n] = δ[n] 일때의 Response y_1[n] 과 x_2[n] = δ[n-1] 일때의 Response y_2[n] 의 합으로 구성 된다. 즉, y[n] = y_1[n] + y_2[n] 이 된다. 여기서 설명하려는 Convolution 역시 이런 성질을 십분 이용하고 있다. 유도 위와 같은 x[n]과 h[n]이 존재한다고 하자. x[n]은 무수히 많은 Impulse들의 합으로 이루어져 있다. 다만 그 Magnitude가 Cosine함수를 따라가고 있을 뿐이다. 굳이 수학식으로 나타..

개요 Continuous-time에서와 마찬가지로, Discrete-time에서도 Convolution이 존재한다. 또한 여기에서도 Impulse Response를 통해 LTI System의 다른 Input Signal의 Response를 분석할 수 있다. 따라서, 본격적으로 Convolution에 대해 다루기 전에, Discrete-time의 Impulse Response를 먼저 다루도록 하겠다. (Discrete-time에서는 Convolution Sum 이라고 하기도 한다.) Finding Impulse Response Unit-impulse Function δ[n]은 n=0 일때만 크기 1의 Signal을 가지는 녀석이다. Impulse Response에서 어떠한 System에 들어갈 Input ..

Block Diagram - Delay Discrete-time에서 사용되는 Block Diagram으로는 Amplifier, Summing Junction, 그리고 Delay가 있다. Amplifier와 Summing Junction은 Continuous-time과 Discrete-time이 전혀 차이가 없는데다, 이미 앞서서 다뤘던 내용이므로 중복해서 다루지 않겠다. 관련 링크 : http://blastic.tistory.com/72 Delay는 위와 같이 그릴 수 있다. Delay는 하나의 index만큼 지연시켜서 output을 만들어 낸다. 한편 반대 의미의 Shift도 있으며 D 대신 S를 적어 넣는다. System Properties 마찬가지로 System Property 역시 별다른 차이가 ..

Signal Energy Discrete-time에서의 Signal Energy는 다음과 같이 정의된다. Signal 전체 범위에서 Signal을 제곱한 값을 모두 더한 결과가 곧 Signal Energy가 된다. Continuous-time에서의 Signal Energy를 구하는 방법과 동일하다. 이러한 경우 수렴하는 Signal이라든지, 대부분의 구간에서 0값을 가지는 Signal이 아닌 이상 Signal Energy는 수렴하지 않는다. Signal의 전체 범위는 곧, 모든 시간 (time index 역시 무한이다.)에 대한 범위이기 때문이다. 일정하게 반복되는 Signal이나 계속해서 커지는 (혹은 작아지는) Signal의 경우 Signal Energy는 infinite하게 된다. Average S..

정의 어떤 Signal에서 n을 n + mN으로 Time Shifting 하더라도 Signal 전체에 변화가 없는 경우 periodic하다고 말하며, 그 함수를 Periodic Function이라고 한다. m은 임의의 정수이며, N은 함수의 어떠한 period에 해당한다. 물론 N 대신 Fundamental Period인 N_0도 상관없다. 위 그림은 정의를 잘 보여주고 있다. 예제 g[n] = 2cos(9πn/4) - 3sin(6πn/5) 이 함수에서 Fundamental Period를 구하는 문제이다. (이미 그림에 답이 나와있다) g[n]은 위와 같이 정의된다. 우리는 이미 Continuous-time 에서 두 개의 Periodic Function의 합에서 Fundamental Period와 Fre..