[Discrete-time] Periodic Functions

정의

어떤 Signal에서 n을 n + mN으로 Time Shifting 하더라도 Signal 전체에 변화가 없는 경우 periodic하다고 말하며,

그 함수를 Periodic Function이라고 한다. m은 임의의 정수이며, N은 함수의 어떠한 period에 해당한다.

물론 N 대신 Fundamental Period인 N_0도 상관없다.

위 그림은 정의를 잘 보여주고 있다. 

예제

g[n] = 2cos(9πn/4) - 3sin(6πn/5)

이 함수에서 Fundamental Period를 구하는 문제이다. (이미 그림에 답이 나와있다) g[n]은 위와 같이 정의된다. 

우리는 이미 Continuous-time 에서 두 개의 Periodic Function의 합에서 

Fundamental Period와 Frequency를 구하는 방법을 배웠었다. 여기서도 마찬가지로 적용이 되는데,

여기서는 각각의 Fundamental Period의 LCM을 구하는 방법을 사용하도록 한다.

먼저, 식을 다시 써보면,

g[n] = 2cos(2π(9/8)n) - 3sin(2π(3/5)n)

cos와 sin의 각각의 Fundamental Period는 8과 5가 된다. 

(함수 내부가 2π x (임의 정수)가 되는 n값들의 차이를 구하라)

LCM (8, 5) = 40

따라서 N_0 = 40이다.