정의 Discrete RV인 X와 Y의 joint probability mass function은 다음과 같이 정의한다. Notation은 joint CDF와 흡사하다. X와 Y의 조합으로, 2차원 평면의 좌표 형태로 조합되는 outcome들이 있게 되며, 각각의 outcome의 분포나 가질 수 있는 확률값은 물론 experiment에 따르게 된다. 이 때의 sample space는 다음과 같이 표현된다. PMF를 표현하는 방법으로는, list형태, matrix형태, graph형태 등이 있는데, 여기서는 좌표평면과 list형태로 표현하는 방법에 대해서만 다루도록 한다. 예제를 살펴보자. 예제 2개의 집적회로를 테스트한다. 각 테스트는 합격, 불합격으로 나뉜다. 테스트는 연속해서 하며, 각 테스트의 성공률..

개요 하나의 random variable을 생성하는 experiment에서의 event는 하나의 지점이나 혹은 line으로 된 interval 형태로 나타난다. 한편, 2개의 random variable을 얻을 수 있는 experiment의 경우에는, 각각의 outcome은 (x,y)와 같이 평면상의 한 점(point)으로 나타나고, event는 평면위의 point나 넓이를 갖는 영역으로 나타나게 된다. 2 random variable에서는 'joint CDF'를 이용해서 표현한다. 이 joint CDF의 범위는 일반적으로 아래와 같이 생각하면 된다. 특정 포인트 (x,y)를 기준으로 음의 무한대까지의 범위를 말한다. 정의 Random variable X와 Y의 joint cumulative distri..

정의 및 유도 Continuous RV의 expected value는 다음과 같이 정의된다. 위 식의 유도는 discrete RV인 Y로 부터 시작하도록 하자. Discrete RV인 Y의 expected value는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 나올 수 있는 value가 각각의 확률로 곱해진 합이 곧 expected value가 됨은 이전 포스트에서 이미 배웠다. Continuous RV에 이를 직접적으로 적용하기에는 불충분하다. 각각의 X의 특정 값이 일어날 확률은 0이기 때문이다. (PMF가 continuous RV에서 소용이 없다는 것은 이전에 여러번 언급이 되었다.) 따라서 우리는 discrete RV에서의 expected value의 정의를 continuous RV로 확장시킬 다른 방법을 찾..

개념 지금까지 우리는 discrete RV에 대해 알아보았다. Discrete RV의 범위는 countable set 으로 나타낼 수 있었다. 여기서부터는 'inteval'이라고 불리는 숫자 구간에 포함되는 모든 실수를 원소로 하는 set이 있을 때, 그 set을 sample space로 갖는 'continuous random variable'에 대해 다루려고 한다. 이 때의 sample space를 continuous sample space라고 한다. 일반적으로 4가지 종류의 continuous set이 존재할 수 있는데, a < b 인 어떤 두 수, a, b가 있을 때, interval의 각 끝은 open interval, 또는 close interval이 될 수 있다. 즉, a < x < b, a

Conditional Probability Mass Function 어떤 event A (P[A]>0)에 대해서, random variable X의 conditional PMF는 다음과 같이 정의된다. 이전 포스트에서 우리는 conditional probability에 대해 다뤘다. 이는 PMF에도 적용할 수 있다. 즉, 어떤 특정 event가 발생했을 조건하에 probability mass function가 정의될 수 있다. 이전의 theorem을 이용하면, 여러개의 conditional PMF를 이용해서 overall PMF를 이끌어 낼 수 있다. 어떤 random variable X에 대해 event space B_1, B_2, ... , B_m 이 존재할때 다음이 성립한다. 이전에 다뤘던 law ..

정의 Average 이외에 어떤 probability model을 설명할 수있는 요소로 variance와 standard deviation을 들 수있다. 이미 '분산'과 '표준편차'로 익숙한 것들이다. 먼저 어떻게 정의되는지 살펴보자. Variance Standard Deviation 먼저 어떤 RV X의 variance는 VAR[X]와 같이 표현한다. 식을 살펴보면, '평균과 가능한 outcome의 차이를 제곱한 것'의 평균을 구한 것으로, 제곱을 하지 않으면 평균과 outcome의 차이가 음의 값이 나오게 되는 경우에 전체 평균이 상쇄되어, 분산, 즉, 각 outcome간의 거리가 얼만큼씩 벌어져 있는지를 나타내는 수치에 의미가 없어지게 된다. 따라서, 제곱을 해줌으로써 그 값이 항상 양수가 나오도록..