[Continuous RV] Continuous Sample Space

개념

지금까지 우리는 discrete RV에 대해 알아보았다.
Discrete RV의 범위는 countable set 으로 나타낼 수 있었다.
여기서부터는 'inteval'이라고 불리는 숫자 구간에 포함되는 모든 실수를 원소로 하는 set이 있을 때,
그 set을 sample space로 갖는 'continuous random variable'에 대해 다루려고 한다.
이 때의 sample space를 continuous sample space라고 한다.

일반적으로 4가지 종류의 continuous set이 존재할 수 있는데,
a < b 인 어떤 두 수, a, b가 있을 때, interval의 각 끝은 open interval, 또는 close interval이 될 수 있다.
즉, a < x < b, a <= x < b, a < x <= b, a<= x <= b 이렇게 4가지가 된다.

그렇다면 과연 continuous RV가 될 수 있는 experiment의 예는 어떤 것이 있을까

예제

간단히 생각해 볼 수 있는 것으로는  '원판 위에 ideal한 포인터를 돌리는 것'을 생각해 볼 수 있다. (위 그림 참조)
예를 들어 'pointer가 0~90도 각도를 가리킬 확률을 구하라' 같은 문제를 맞닥들인다면,
우리는 이를 기존의 discrete RV로 생각하기 힘들다.
물론 pointer의 각도를 1도 단위로 측정한다면 discrete RV로도 모델링이 가능할 것이겠지만,
측정 단위가 매우 작아서 (예를 들어 0.00001도) 충분히 countinuous에 가깝다고 할 수 있을 때, 
우리는 이를 continuous sample space를 갖는 continuous RV로 나타낼 수 있게 된다.

위 그림의 원 둘레의 길이를 1이라고 했을 때,
원판 위의 점이 있는 부분부터 포인터가 가리킨 부분의 호의 길이를 random variable X = x 라고 나타내자.
우리는 이 x가 나올 개별적인 확률을 구하고 싶다.
지금까지 배운 것으로는 직접적으로 구하기 어려우므로, 먼저 원판을 몇 조각으로 나누어 보자.

원 둘레를 n개의 같은 길이의 호로 나누게 되면, 각 호의 길이는 1/n이 되므로,
우리는 이 discrete RV인 Y에 대해 다음과 같이 PMF를 만들어 볼 수 있다.

그러면 다음이 성립한다.

위 식에서 nx 양옆에 붙은 처음보는 기호는 ceil 이라고 하는 것으로,
nx보다 크거나 같은 가장 작은 정수를 의미 한다. 쉽게 이야기 하면 '올림'이다.
앞서 제시한 그림을 잘 보면 X는 호의 길이를 나타내고 있지만
Y는 쪼개진 각 호의 '번호'를 나타내고 있다는 것을 다시한번 유념하도록 하자.
그렇다면 X = x 일 확률은, x가 무엇이 되었든 간에, 항상 Y가 nx를 올림한 값이 될 확률보다 작을 수 밖에 없다. 

이 상태에서 우리는 조각을 무수히 많이 쪼갤 수 있다. 즉 n을 무한대로 보내게 되면 어떨까
P[X = x] = 0이 되어버린다. 즉 모든 outcome 각각은 일어날 확률이 제로가 되는 것이다.
적어도 이 말은 틀린말이 아니다. 
하지만 continuous RV에 대해서 이러한 접근법은 RV를 분석하는데 있어서 별다른 도움이 되지 못한다.
다시 말해서 우리는 continuous RV를 정의할 새로운 방법을 찾아야 한다.
다음 포스트에서는 그 방법에 대해서 다루도록 하겠다.