Averages 흔히 말하는 평균(average)은 전체 숫자의 합을 개수로 나눈것을 말한다. 하지만 평균에는 몇 가지 종류가 있는데, 그 중 여기서는 mode, median, mean의 세가지에 대해 짚고 넘어가겠다. mode는 '최빈값'이라는 의미를 가지고 있다. 즉, 가장 빈번하게 나타나는 숫자를 나타낸다. Mode Random variable X의 mode x_mod는 다음과 같이 정의된다. 여기서는 outcome들 중 확률이 가장 높은 x_mod 값을 mode라고 할 수 있다. 다만 mode값이 하나 이상이 될 수 있으며, sample space의 구성이 숫자로 되어 있지 않더라도 mode를 구할 수 있다. Median Random variable X의 median x_med는 다음과 같이 정의..

정의 CDF를 그대로 해석하면 누적확률 분포함수가 된다. 다시 말해서 어떤 random variable X가 x이하일 확률을 나타내는 함수다. PMF와 마찬가지로 CDF역시 discrete RV가 나타내는 probability model을 완벽히 설명해 준다. 관련 정리 1 (a)는 CDF가 0에서 시작해서 1에서 끝난다는 것을 나타내고 있다. (b)를 보면 CDF는 항상 증가하는 함수 (단조 증가함수; increasing function)임을 알 수 있다. 한편 (c)에서는 특정 지점에서 값이 갑자기 변한다는 것을 알려주고 있다. (discontinuity) 다시 말해서 CDF의 그래프를 그리면 항상 계단형의 그래프가 나오게 되는 것이다. x_i는 sample space에 포함되어있기 때문에 극히 작은..

본론에 앞서 이번 포스트에서는 몇몇 주요한 discrete RV들에 대해서 다뤄보려고 한다. 실제 응용에 있어서 많은 model들을 여기서 소개하게 될 discrete RV들을 통해 modeling할 수 있다. 그만큼 여기서 소개할 내용들이 앞으로의 discrete RV part의 대부분의 중심 내용이 될 것이다. Bernoulli Random Variable PMF가 위와 같은 꼴을 가지는 RV는 Bernoulli RV라고 한다. 일반적으로 Bernoulli(p)와 같은 형태로 간단히 표시할 수 있다. Success & failure model을 설명하는데 가장 적합한 RV의 형태라고 할 수 있다. 가장 간단한 예로는 동전던지기를 들 수 있다. 앞면과 뒷면이 나올 확률이 동일하다면 p = 1/2로 설정..

정의 Discrete random variable X 의 probability mass function은 다음과 같이 정의된다. 단, P[X = x]는 X가 x가 될 probability를 말한다. 의미 및 예제 Probability mass function은 어떤 discrete random variable에 대한 probability model이다. 쉽게 이야기 하면, sample space를 구성하는 각각의 outcome마다 어떤 확률을 부여한 것이다. 예를 들어서, 앞면이 나올 확률이 80%, 뒷면이 나올 확률이 20%인 동전이 있다고 하자. Sample space는 S = {H, T}라고 하자. 이 experiment를 random variable X로 나타내면, X는 앞 또는 뒤 둘 중 하나의..

시작 이전의 포스트가 단지 어떤 확률모델에 대한 정의들이었다면 여기서는, 나아가서는 이 이후의 대부분의 내용은 어떠한 experiment에 대한 observation인 random variable(확률 변수)에 대한 내용으로 채워질 것이다. 본격적으로 시작하기 전에, 제목에는 random variable을 RV로 축약해서 사용할 예정이고, 앞에 붙은 discrete의 의미는 아래에서 차차 설명하도록 하겠다. 먼저 확률 변수의 정의를 살펴보자. 정의 Random variable은 어떤 sample space S에 대하여 probability measure P[·]가 정의된 experiment와 sample space에 속한 각각의 outcome에 대해서 어떠한 실수가 대응된 함수로 이루어진 것이다. Ran..

Counting Methods 확률을 계산하기 위해서는 outcome의 개수를 알 필요가 있다. (어디까지나 discrete한 공간에서의 이야기이다.) 지금까지의 예제들은 모든 outcome들을 일일이 찾아주는 방법을 취했으나 subexperiment가 여러번 겹친다든지, experiment가 복잡한 경우에는 좀 더 간단한 방법을 사용할 필요가 있다. 이 포스트에서는 그 방법에 대해 설명하려고 한다. 대부분의 내용은 중고등학교 교육과정상에 포함되어 있으므로 앞으로 이어질 포스트에 사용될 대략적인 notation 위주로 보아도 무관할 것이다. Fundamental Principle of Counting 여러개의 subexperiment가 있고, 각각의 subexperiment들을 모두 수행했을 때, 가능한..