[Discrete RV] Probability Mass Function (PMF)

정의

Discrete random variable X 의 probability mass function은 다음과 같이 정의된다.

단, P[X = x]는 X가 x가 될 probability를 말한다. 

의미 및 예제

Probability mass function은 어떤 discrete random variable에 대한 probability model이다.
쉽게 이야기 하면, sample space를 구성하는 각각의 outcome마다 어떤 확률을 부여한 것이다.

예를 들어서, 앞면이 나올 확률이 80%, 뒷면이 나올 확률이 20%인 동전이 있다고 하자.
Sample space는 S = {H, T}라고 하자. 이 experiment를 random variable X로 나타내면,
X는 앞 또는 뒤 둘 중 하나의 값을 가질 수 있다.
그러면 이 random variable X의 probability mass function은 다음과 같이 정의할 수 있다.

주의할 것은 H와 T 이외의 것이 나오는 것에 대해서는 probability가 0 이라고 표시를 해 주어야 한다.
값 H와 T에 각각 0.8과 0.2의 probability가 부여됐다.
또한 0.8, 0.2와 같은 숫자대신 random variable X가 가질 수 있는 값에 대한 관계식으로 함수를 표현할 수도 있다.

  

관련 정리

어떤 discrete random variable X와 그의 PMF인 P_X(x)와 범위 S_X에 대해서 다음이 성립한다. 

(a)는 어떤 임의의 x에 대해서 PMF가 가질 수 있는 값은 0 이상이라는 것이다.
(b)의 경우 sample space의 모든 outcome이 가질수 있는 모든 probability 수치의 합은 1이라는 뜻이다.
(c)는 어떤 event B에 속하는 모든 outcome들이 일어날 probability의 합은,
그 event의 probability를 나타낸다는 뜻이다. 

위 내용들은 증명이 필요한 것들이다.
대략적으로 눈치 챘겠지만, 3가지의 정리는 이전에 설명한 axioms of probability에서 얻을 수 있는 결과다.
(a)는 PMF의 정의와 axiom 1번에 의해 곧바로 증명이 된다.
Probability는 0~1 사이의 값을 가지며, PMF는 probability에 관한 함수로 나타나기 때문이다.
(b)의 경우 모든 outcome이 포함된 sample space S는 곧 S_x이다.
따라서, S_x에 속한 outcome들의 확률은 개별적인 모든 PMF 값들의 합이 되며,
이는 다시 probability의 함수로 나타낼 수 있다. 결론적으로 그 값은 P[S]와 같게되어 1이 된다.
마지막으로 (c)의 경우 PMF의 정의와 함께 infinite countable set의 경우 axiom 3을,
finite countable set의 경우 이전 포스트인 http://blastic.tistory.com/156 의 theorem 3을 이용해 증명이 된다.