[Probability] Probability Axioms
2012. 2. 2. 00:03
Axioms of Probability
![\\ \bold{Axiom~ 1}:~\text{For~any~event} ~A,~P[A]~ \ge ~0\\ \bold{Axiom~ 2}:~P[S] ~= ~1\\ \bold{Axiom~ 3}:~\text{For~any~countable~collection} ~A_1 , ~A_2 ,~ \dots \\~~~~~~~~~~~~~~~~ \, \text{~of~mutually~exclusive~events}\\ \\~~~~~~~~~~~~~~~~~P[A_1 \cup A_2\cup \cdots ] = P[A_1 ] +P[A_2 ] +\cdots](https://t1.daumcdn.net/cfile/tistory/1417CD3C4F2947650A)
위의 표현된 식들은 axiom, 즉 공리라고 하는 것으로 굳이 부가적인 증명이 필요 없는 자명한 진리이다.
이러한 axiom을 기반으로 하여 다른 정리들로 확장해 나가는 것이 가능하다.
정식 이름은 'Axioms of probability' 라고 하며,
P[A] 는 A라는 event의 확률을 의미한다. Event 대신 outcome의 확률도 P[a]와 같은 식으로 표현이 가능하다.
Axiom 1번은 어떠한 event가 일어날 확률은 항상 0 이상이라는 의미가 되며,
axiom 2번은 sample space의 확률이 1임을 나타낸다. 이상의 두 개의 axiom을 정리해 봤을때,
모든 확률은 0과 1 사이에 표현된다는 것을 알 수 있다.
즉 확률이 2, 3.141592 ... 등이 될 수 없고, 물론 음수도 될 수 없다.
한편 axiom 3번은 mutually exclusive한 event를 모두 합집합 하면,
그 합집합의 확률은 곧 각각의 event가 발생할 확률의 합과 같다는 의미이다.
이러한 axiom들을 토대로 몇가지 정리를 이끌어 낼 수 있다.
(각 정리의 증명과정은 생략한다.)
Theorem 1
Mutually exclusive event인 A_1과 A_2에 대해서
![P[A_1 \cup A_2] = P[A_1]+P[A_2]](https://t1.daumcdn.net/cfile/tistory/163CF94D4F294B4E15){kind=small}
가 성립한다.
Axiom 3의 특별한 케이스라고 생각할 수도 있으나, 실제 증명을 위해서는 axiom 2를 이용해야 하며,
A_1, A_2 ... 의 합집합이 전체집합이라고 가정한 다음 약간의 집합연산을 통한 증명을 해주면 된다.
Theorem 2
![\\\text{If~} A=A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_m ~\text{and}~A_i \cap A_j = \phi ~\text{for}~ i \neq j ~\text{then,}\\ P[A]=\sum^{m}_{i=1} P[A_i]](https://t1.daumcdn.net/cfile/tistory/1429C3334F294D5802)
Theorem 1의 확장이다.
Theorem 3
![\\ \text{If~}B=\{s_1,s_2,\dots,s_m\}, \\P[B]=\sum^{m}_{i=1}P[\{s_1\}]](https://t1.daumcdn.net/cfile/tistory/132381334F294F1E0C)
B가 어떤 outcome들의 집합, 즉 event라면, 각 outcome들을 1개씩 담은 set의 확률의 합은 event의 확률과 같다.
Theorem 2의 확장이다.
Theorem 4
![\\\text{(a)~}P[\phi]=0 \\\text{(b)~}P[A^c]=1-P[A] \\\text{(c)~For any A and B, }P[A \cup B]=P[A]+P[B]-P[A\cap B] \\\text{(d)~If }A \subset B, \text{ then }P[A] \leq P[B]](https://t1.daumcdn.net/cfile/tistory/134AC23D4F29513139)
기본적인 내용들이다.
앞서 다룬 Axiom과 정리를 이용하면 어렵지 않게 증명이 가능하다.
이미 고등학교 과정의 집합, 확률 통계 과정에서 배웠으리라 믿고 마찬가지로 증명은 싣지 않는다.
Theorem 5
![\\\text{For and event }A \text{, and event space }\{B_1, B_2, \dots , B_m\} \\P[A]=\sum^{m}_{i=1}P[A \cap B_i]](https://t1.daumcdn.net/cfile/tistory/193ABC3A4F2952E62D)
이전 포스트의 부가 정리(링크)와 theorem 2을 이용하여 증명이 가능하다.
이해가 가지 않으면 링크를 눌러 event space의 정의를 다시 숙지하기 바란다.
여기까지의 내용은 앞으로 다뤄질 내용에서 기본적으로 사용되는 theorem들이므로
다시 살펴볼 필요가 없을 정도로 익숙해지는 것이 좋다.
직접 증명을 해보면 외우기가 한결 쉬워질 것 같다.