정리 Discrete RV의 X, Y의 joint PMF P_X,Y(x,y) 에 대해서 다음이 성립한다. 두 개의 random variable을 생성하는 experiment라고 하더라도, 둘 중 하나를 무시하고, 하나의 random variable만 고려할 수 있다. 이렇게 해서 얻은 PMF를 Marginal PMF라고 하며, 위의 정리는 marginal PMF를 어떻게 얻는지를 나타내고 있다. 예제를 통해서 설명을 이어가도록 하겠다. 예제 다음의 PMF가 주어졌을 때, X, Y에 대한 marginal PMF를 구하라. 앞서 marginal PMF의 정리를 그대로 적용하면, 각, X, Y에 가능한 outcome들에 대해서, 지우고자 하는 variable의 확률값들을 모두 더하면, marginal PMF를..

정의 Discrete RV인 X와 Y의 joint probability mass function은 다음과 같이 정의한다. Notation은 joint CDF와 흡사하다. X와 Y의 조합으로, 2차원 평면의 좌표 형태로 조합되는 outcome들이 있게 되며, 각각의 outcome의 분포나 가질 수 있는 확률값은 물론 experiment에 따르게 된다. 이 때의 sample space는 다음과 같이 표현된다. PMF를 표현하는 방법으로는, list형태, matrix형태, graph형태 등이 있는데, 여기서는 좌표평면과 list형태로 표현하는 방법에 대해서만 다루도록 한다. 예제를 살펴보자. 예제 2개의 집적회로를 테스트한다. 각 테스트는 합격, 불합격으로 나뉜다. 테스트는 연속해서 하며, 각 테스트의 성공률..

개요 하나의 random variable을 생성하는 experiment에서의 event는 하나의 지점이나 혹은 line으로 된 interval 형태로 나타난다. 한편, 2개의 random variable을 얻을 수 있는 experiment의 경우에는, 각각의 outcome은 (x,y)와 같이 평면상의 한 점(point)으로 나타나고, event는 평면위의 point나 넓이를 갖는 영역으로 나타나게 된다. 2 random variable에서는 'joint CDF'를 이용해서 표현한다. 이 joint CDF의 범위는 일반적으로 아래와 같이 생각하면 된다. 특정 포인트 (x,y)를 기준으로 음의 무한대까지의 범위를 말한다. 정의 Random variable X와 Y의 joint cumulative distri..

정의 어떤 random variable X의 PDF가 다음과 같을 때, X를 Gaussian random variable (μ, σ) 라고 한다. 여기서 μ는 어떠한 실수, σ > 0이어야 한다. PDF의 식이 상당히 복잡하게 되어있는데, 일단 어떤 모양인지 살펴 보면, 위와 같다. Peak가 μ에서 형성됨을 알 수 있으며, σ은 전체 그래프의 모양이 어떻게 퍼져 있는지를 나타낸다. 이러한 종모양의 커브는 확률이론을 적용할 때 자주 등장한다. 예를 들어 대한민국 남자의 평균 키 분포 라든지, 인간 전체의 아이큐 측정값 분포 같은 것을 살펴보면, 위와 같은 형태로 나타난다. 어떤 임의의 random variable X를 갖는 experiment를 비교적 많이 반복시행하면 위와 같은 형태로 나타난다. (이 ..

Conditional Probability Mass Function 어떤 event A (P[A]>0)에 대해서, random variable X의 conditional PMF는 다음과 같이 정의된다. 이전 포스트에서 우리는 conditional probability에 대해 다뤘다. 이는 PMF에도 적용할 수 있다. 즉, 어떤 특정 event가 발생했을 조건하에 probability mass function가 정의될 수 있다. 이전의 theorem을 이용하면, 여러개의 conditional PMF를 이용해서 overall PMF를 이끌어 낼 수 있다. 어떤 random variable X에 대해 event space B_1, B_2, ... , B_m 이 존재할때 다음이 성립한다. 이전에 다뤘던 law ..

본론에 앞서 이번 포스트에서는 몇몇 주요한 discrete RV들에 대해서 다뤄보려고 한다. 실제 응용에 있어서 많은 model들을 여기서 소개하게 될 discrete RV들을 통해 modeling할 수 있다. 그만큼 여기서 소개할 내용들이 앞으로의 discrete RV part의 대부분의 중심 내용이 될 것이다. Bernoulli Random Variable PMF가 위와 같은 꼴을 가지는 RV는 Bernoulli RV라고 한다. 일반적으로 Bernoulli(p)와 같은 형태로 간단히 표시할 수 있다. Success & failure model을 설명하는데 가장 적합한 RV의 형태라고 할 수 있다. 가장 간단한 예로는 동전던지기를 들 수 있다. 앞면과 뒷면이 나올 확률이 동일하다면 p = 1/2로 설정..