[Pairs of RV] Joint Probability Mass Function

정의

Discrete RV인 X와 Y의 joint probability mass function은 다음과 같이 정의한다.

Notation은 joint CDF와 흡사하다.
X와 Y의 조합으로, 2차원 평면의 좌표 형태로 조합되는 outcome들이 있게 되며,
각각의 outcome의 분포나 가질 수 있는 확률값은 물론 experiment에 따르게 된다.
이 때의 sample space는 다음과 같이 표현된다.

 
PMF를 표현하는 방법으로는, list형태, matrix형태, graph형태 등이 있는데,
여기서는 좌표평면과 list형태로 표현하는 방법에 대해서만 다루도록 한다.
예제를 살펴보자.

예제

2개의 집적회로를 테스트한다. 각 테스트는 합격, 불합격으로 나뉜다.
테스트는 연속해서 하며, 각 테스트의 성공률은 0.9이다.
Random variable X는 합격된 회로의 개수를 나타내고,
random variable Y는 첫번째 불합격을 판정받기 전까지 합격한 회로의 개수를 나타낸다고 하자.
이 때의 PMF를 다양한 방법으로 표현해보라

먼저 가능한 조합은 이렇다.
둘 다 불합격, 또는 합격하는 경우와 하나만 합격하는 경우가 있는데,
하나만 합격하는 경우에는 합격-불합격의 순서와 불합격-합격의 순서를 다르게 다뤄야 한다.

두 개가 연속으로 합격할 확률은 0.9 * 0.9 = 0.81 이고, 이 때의 X = 2, Y = 2가 된다.

하나가 합격하고 다음이 불합격일 확률은 0.1 * 0.9 = 0.09이다.
이때 합격한 회로의 숫자 X = 1이고,
불합격을 받은 상태에서 이전에 합격을 받은 회로는 한개이므로 Y = 1이다.

하나가 합격하고 다음이 불합격일 확률은 0.1 * 0.9 = 0.09로 동일하나,
처음에 불합격을 이미 받은 상태이므로 Y = 0 이다. (X = 1)

둘 다 불합격할 확률은 0.1 * 0.1 = 0.01 이고, X = Y = 0 이다.
이 이외에는 가능한 경우가 없다.
이를 matrix 형태로 나타내면,

와 같이 나타낼 수 있다.
x, y가 각각 가질 수 있는 숫자를 각 행과 열 머리에 적어둔 다음,
각 경우에 대해서 확률을 적어넣은 모양을 하고 있다.
확률이 0인 것도 모두 표시해두도록 한다.

이를 그래프 형태로 표현하고, PMF를 정리하면

와 같이 나타낼 수 있다.

Probability of an Event

Discrete RV인 X, Y에 대해서, XY평면과 그 평면위의 어떤 set B가 있을 때,
event {(X,Y) ∈ B}의 확률은 다음과 같이 구할 수 있다.

이는 곧, B에 속한 각 좌표에 해당하는 확률값의 합이 곧 event B의 확률이 된다는 의미로,
이전의 single random variable의 PMF에서와 흡사한 정리라고 할 수 있다.

B의 예는 위와 같이 표현이 된다.