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[Pairs of RV] Joint Probability Mass Function

2012. 2. 23. 22:22

정의

Discrete RV인 X와 Y의 joint probability mass function은 다음과 같이 정의한다.

P_{X,Y}(x,y) = P[X=x,Y=y]


Notation은 joint CDF와 흡사하다.
X와 Y의 조합으로, 2차원 평면의 좌표 형태로 조합되는 outcome들이 있게 되며,
각각의 outcome의 분포나 가질 수 있는 확률값은 물론 experiment에 따르게 된다.
이 때의 sample space는 다음과 같이 표현된다.

S_{X,Y}(x,y) = \{ (x,y) / P_{X,Y} (x,y)>0 \}

 
PMF를 표현하는 방법으로는, list형태, matrix형태, graph형태 등이 있는데,
여기서는 좌표평면과 list형태로 표현하는 방법에 대해서만 다루도록 한다.
예제를 살펴보자.



예제

2개의 집적회로를 테스트한다. 각 테스트는 합격, 불합격으로 나뉜다.
테스트는 연속해서 하며, 각 테스트의 성공률은 0.9이다.
Random variable X는 합격된 회로의 개수를 나타내고,
random variable Y는 첫번째 불합격을 판정받기 전까지 합격한 회로의 개수를 나타낸다고 하자.
이 때의 PMF를 다양한 방법으로 표현해보라



먼저 가능한 조합은 이렇다.
둘 다 불합격, 또는 합격하는 경우와 하나만 합격하는 경우가 있는데,
하나만 합격하는 경우에는 합격-불합격의 순서와 불합격-합격의 순서를 다르게 다뤄야 한다.

두 개가 연속으로 합격할 확률은 0.9 * 0.9 = 0.81 이고, 이 때의 X = 2, Y = 2가 된다.

하나가 합격하고 다음이 불합격일 확률은 0.1 * 0.9 = 0.09이다.
이때 합격한 회로의 숫자 X = 1이고,
불합격을 받은 상태에서 이전에 합격을 받은 회로는 한개이므로 Y = 1이다.

하나가 합격하고 다음이 불합격일 확률은 0.1 * 0.9 = 0.09로 동일하나,
처음에 불합격을 이미 받은 상태이므로 Y = 0 이다. (X = 1)

둘 다 불합격할 확률은 0.1 * 0.1 = 0.01 이고, X = Y = 0 이다.
이 이외에는 가능한 경우가 없다.
이를 matrix 형태로 나타내면,


와 같이 나타낼 수 있다.
x, y가 각각 가질 수 있는 숫자를 각 행과 열 머리에 적어둔 다음,
각 경우에 대해서 확률을 적어넣은 모양을 하고 있다.
확률이 0인 것도 모두 표시해두도록 한다.

이를 그래프 형태로 표현하고, PMF를 정리하면


와 같이 나타낼 수 있다.



Probability of an Event

Discrete RV인 X, Y에 대해서, XY평면과 그 평면위의 어떤 set B가 있을 때,
event {(X,Y) ∈ B}의 확률은 다음과 같이 구할 수 있다.

P[B] = \sum_{(x,y)\in B}P_{X,Y} (x,y)


이는 곧, B에 속한 각 좌표에 해당하는 확률값의 합이 곧 event B의 확률이 된다는 의미로,
이전의 single random variable의 PMF에서와 흡사한 정리라고 할 수 있다.


B의 예는 위와 같이 표현이 된다.