[Pairs of RV] Joint Cumulative Distribution Function
2012. 2. 23. 21:02
개요
하나의 random variable을 생성하는 experiment에서의 event는
하나의 지점이나 혹은 line으로 된 interval 형태로 나타난다.
한편, 2개의 random variable을 얻을 수 있는 experiment의 경우에는,
각각의 outcome은 (x,y)와 같이 평면상의 한 점(point)으로 나타나고,
event는 평면위의 point나 넓이를 갖는 영역으로 나타나게 된다.
2 random variable에서는 'joint CDF'를 이용해서 표현한다.
이 joint CDF의 범위는 일반적으로 아래와 같이 생각하면 된다.
특정 포인트 (x,y)를 기준으로 음의 무한대까지의 범위를 말한다.
정의
Random variable X와 Y의 joint cumulative distribution function은 다음과 같이 정의한다.
![F_{X,Y}(x,y) = P[X \leq x, Y\leq y]](https://t1.daumcdn.net/cfile/tistory/131408504F46228035){kind=small}
여기서의 notation은 이전의 CDF을 확장시킨 것으로, F의 아래첨자로 random variable의 목록을 표시한다.
한편 오른쪽에는 P[X ≤ x, Y ≤ y]와 같이 표시되어있는데, 두 가지 조건을 모두 만족해야 한다는 의미다.
한편 joint CDF에 대해서 다음이 성립한다.
(b)와 (c)에 대해서는 다음과 같이 생각할 수 있다.
![\\F_X(x) = P[X \leq x] = P[X \leq x, Y < \infty] = \lim_{y \to \infty} F_{X,Y}(x,y) = F_{X,Y}(x,\infty)\\ F_Y(y) = P[Y \leq y] = P[X < \infty, Y \leq y] = \lim_{x \to \infty} F_{X,Y}(x,y) = F_{X,Y}(\infty,y)](https://t1.daumcdn.net/cfile/tistory/177F36464F462A1013){kind=small}
나머지에 대해서는 CDF의 범위를 결정하는 point의 위치를 생각해 보면 유추가 가능하므로,
추가적인 설명은 하지 않겠다. 하지만, CDF는 보통 잘 이용하지 않는 편이고,
discrete RV와 continuous RV에 따라서 joint PMF나 joint PDF를 이용하여 표현하는 것이 더 편하다.
이들에 대해서는 이어지는 포스트에서 설명하도록 한다.