[Discrete-time] Block Diagrams and System Properties

Block Diagram - Delay

Discrete-time에서 사용되는 Block Diagram으로는 Amplifier, Summing Junction, 그리고 Delay가 있다.

Amplifier와 Summing Junction은 Continuous-time과 Discrete-time이 전혀 차이가 없는데다,

이미 앞서서 다뤘던 내용이므로 중복해서 다루지 않겠다.

관련 링크 : http://blastic.tistory.com/72

Delay는 위와 같이 그릴 수 있다. Delay는 하나의 index만큼 지연시켜서 output을 만들어 낸다.

한편 반대 의미의 Shift도 있으며 D 대신 S를 적어 넣는다.

System Properties

마찬가지로 System Property 역시 별다른 차이가 없다.

여기서는 일일이 다시 Property를 설명하는 대신, 

몇 개의 예제를 통해 Discrete-time System의 Property를 설명하도록 하겠다.

회로에 대한 Difference Equation을 세워 solution을 구해보면 

이 System은 나중에 언급되겠지만, 간단한 Digital Lowpass Filter이다.

어쨌든, 이 System의 Excitation에 Constant를 곱하면, Response 역시 Constant 만큼 곱해져서 나올 것이다.

따라서 이 System은 Homogeneous하다고 할 수 있다.

마찬가지로, Excitation에 Delay를 먹이면, Response 역시 Delay되어 나오므로 Time invariant하다고 할 수 있다.

또한, 어떠한 두개의 Signal을 합쳐서 Excitation을 만들면 Response 역시 두개의 Signal로 각각 나눌 수 있다.

따라서 이 System은 LTI Discrete-time System이라고 할 수 있다.

또한 Bounded excitation에 대해서 Bounded response를 가지므로 Stable하다.

Time-variant Example

y[n] = x[2n]

이 System에서 x_1[n] = g[n]과 x_2[n] = g[n-1]에 대해서 생각해보자.

앞서 Continuous-time System Property를 설명할 때의 Time Scaling이 걸리는 경우로서, 

마찬가지 결론, 즉 Time-variant한 특성을 보여주고 있다.

Not BIBO Stable Example

A[n] = P(1+r)^n

Not BIBO Stable의 예제라면 복리이자를 생각해 볼 수 있다.

P는 원금, r은 이자, n이 증가함에 따라 예금액 A[n]은 Bound가 없이 증가한다. 

물론 이것은 이론상, n이 Infinite 하게 증가할 때를 의미한다.

엄밀히 말하면, Continuous-time 에서 이미 언급했듯이, 

Real System에서 BIBO-unstable한 예제는 있기 어렵다.

사람이 언제 죽을지 모르는데, 아니 그보다도 은행이 얼마나 지속될지 알 수 없는데, 

돈이 어떻게 Boundary가 없이 무한히 커질 수 있겠는가?

한편, Memory, Causality, Static Nonlinearity, Invertibility 역시 

모두 Continuous-time System에서의 정의와 동일하다.