[First-order ODEs] Exact ODEs
2011. 2. 5. 00:05
General Form of Exact ODEs
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
Exact ODE는 위와 같은 형태를 가지는데, M(x,y), N(x,y)는, x와 y로 이루어진 식으로 생각하면 된다.
이러한 형태는 partial derivative로 바꾸어 쓸 수 있는데,
식에서도 알 수 있듯, 어떤 함수 u(x,y)가 Constant일때,
이 함수의 partial derivative의 모양이 곧 Exact ODE가 되는 것이다. 물론, 설명할 필요도 없이 du는 0이 된다.
M(x,y), N(x,y)는 위와 같이 정의된다.
그런데, 식을 써보면 위와 같은 결론이 나오게 된다.
위 결론은 어떠한 ODE가 Exact ODE인지를 증명하는데 쓰인다.
한편, 함수 u는 다음과 같은 방법으로 구할 수 있다.
실제 예제를 통해 어떻게 Exact ODE의 Solution을 구하는지 알아보자.
Example 1
cos(x + y) dx + (3y^2 + 2y + cos(x + y)) dy = 0
문제를 풀기에 앞서 먼저 이 식이 Exact ODE인지 판단할 필요가 있다.
M = cos(x+y)
N = 3y^2 + 2y + cos(x+y)
∂M / ∂y = - sin (x+y)
∂N / ∂x = - sin (x+y)
∂M / ∂y = ∂N / ∂x 이므로, Exact ODE임을 알 수 있다.
이제 함수 u를 구할 차례다.
k(y)를 구하기 위해서는 함수 u를 y에 대해 편미분해야 한다.
이렇게 구한 식을 넣으면, 최종적으로 다음 식을 얻을 수 있다.
c*은 Exact ODE에서 u(x,y) = c 이므로, 위와 같이 바꿔 쓸 수 있다. (c*나 c는 값이 지정되어 있지 않다.)
u를 각각 x와 y에 대해 편미분 하여 원래의 ODE가 나오는지 확인하는 것으로 문제 풀이를 마치면 끝이다.
Reduction to Exact Form
- y dx + x dy = 0
위 식은 Exact ODE가 아니다.
하지만 양변에 어떤 함수 F(x,y) = 1/x^2 를 곱해준다면 어떨까?
Exact ODE가 되었다. 함수를 풀어보면 y/x = c, y = cx 라는 General Solution을 구할 수 있다.
그렇다면, 어떤 함수 F(x,y)는 어떻게 구할 수 있을까?
How to Find Integrating Factors?
어떤 함수 F는 Integrating Factor 라고 부른다.
우리는 앞서 배운 정의들을 토대로 이 F를 구해볼 것이다.
그러기 전에 명확히 해둘 것이 있는데,
M과 N으로 쓰여진 함수를 F를 포함한 것으로 바꿀 필요가 있다.
따라서 M = FP, N = FQ 라고 바꿔 쓰도록 하겠다. (생략되었지만 물론 M(x,y) = F(x,y) P(x,y) 의 모양이다.)
편의상 편미분을 아래첨자 형태로 넣었다.
이것을 그대로 풀게되면 상당히 복잡할 뿐 아니라 쓸데 없기도 하다.
우리는 나중이 되겠지만, 어떠한 하나의 미지수에 대해 적분을 하게 될것이다.
따라서, F를 x, y중 하나의 미지수에 관한 식이라고 가정할 것이다.
여기서는 편의상 x에 관한 식이라고 하자.
그렇다면 F = F(x)가 될 것이며 F를 y로 편미분한 결과는 0이 된다. F를 x로 미분한 결과는 dF/dx이다.
식을 다시 써보면,
FP_y = (dF/dx)Q + FQ_x
양변을 FQ로 나누고 식을 정리하면,
이러한 결론이 나오게 되며, F에 관한 식으로 다시 정리하면,
위와 같은 식을 얻을 수 있다.
같은 방법으로 만약 F = F(y)라고 가정한다면,
위와 같이 구할 수 있겠다.
즉, R과 R*를 구하여 둘 중, 더 간단한 식이 나오는 것으로 취사선택하여 Integrating Factor를 택하면 되겠다.
다음 예제를 통해서 어떻게 실제 문제에서 Solution을 얻을 수 있는지 살펴 보도록 하자.
Example 2
상당히 복잡해 보인다.
먼저 Exact ODE인지 살펴보자.
Non-exact 하다.
Integrating Factor를 구하기 위해 R를 구해보자.
조금 복잡한 것 같다. 밑져야 본전이므로 R*도 구해보도록 한다.
꽤나 간단한 결과가 나왔다. F*(y)를 구하면,
F*(y) = e^{-y}
이므로 원래 식의 양변에 e^{-y}를 곱하면, ODE는 다음과 같이 쓸수 있다.
자 이제, 우리가 알고 있는 Exact ODE가 완성되었으므로, 위에서 배운대로 u(x,y)를 구하면,
k(y)를 구하기 위해 u를 y에 대해 편미분 하면,
최종적으로 u에 대해 다시 써 보면,
이렇게, General Solution을 구했다.
여기에 다시 Initial Condition을 적용시켜서 Particular Solution을 구해야 한다.
y(0) = -1은 곧 u(0, -1)을 의미한다. General Solution에 대입해보면, c = 1 + e 가 도출된다.
Particular Solution은 다음과 같다.
이로써 문제 해결이 끝났다.