[First-order ODEs] Basic Concepts

개요

이 카테고리에서는 각종 물리적, 공학적 문제들에 대한 식을 세우는 Modeling 과정을 통해 

문제를 수학적 Model로 환원한 다음, (아마도 Differential Equation이 될것이다.)

이에 대한 해법을 토대로 solution을 얻는 방법을 배우게 될 것이다.

먼저 제목에 쓰인 ODE란 Ordinary Differential Equation을 줄인 말이다. 

그냥 보편적인 Differential Equation 정도로 생각하면 된다.

First-order란 이미 알고 있겠지만 '1차의'라는 뜻으로, 즉 다시 말하면 1차 미분방정식이 되겠다.

First-order ODE의 경우 first derivative만 포함되어있는 DE를 뜻한다.
(번역하자면, 1번 미분된 미지수만 포함되어있는 DE이다.)

많은 문제들은 위 그림과 같이 derivative를 포함하는 식, 다시말해서 Differential Equation으로 표현할 수 있다.

이런 DE들에 대해 알아보고, 그래프를 그려보고, 값을 찾아보고, Solution을 찾음으로써,

해당 물리적 시스템이 어떻게 작동하는지에 대해 이해할 수 있다. 

식의 표현

First-order ODE

First-order ODE는 보통 위와 같은 형태로 표시된다.

실제 식을 통해 예를 들어보면,

이렇게 표현된다. (단, 위 식에는 x≠0 이어야 한다는 조건이 붙을것이다.)

Solution

y = h(x), on open interval a<x<b

단, a<x<b는 -∞<x<b, a<x<∞, -∞<x<∞를 포함한다.

h(x)는 주어진 범위에서 미분이 가능해야한다. y는 곧 h, h는 곧 y가 될 수 있다.

h(x)가 그리게 되는 Graph 혹은 Curve는 Solution Curve라고 불린다.

사실 앞으로 다룰 문제들에서 그렇게 중요하게 쓰이지는 않을 것이다.

Example

xy' = -y, and its solution is y = h(x) = c/x (c is an arbitrary constant)

위 예제에는 문제와 답이 나와있는데, 이 해가 과연 맞는 것인지 확인해보도록 하자.

먼저 y의 derivative를 구해보면 y' = h'(x) = -c/x^2 이며 양변에 x를 곱하면 xy' = -c/x 가 된다.

이는 곧 -y와 같으므로, 해 y = h(x) = c/x는 옳은 해라고 할 수 있다.

General and Particular Solution

본론에 들어가기 앞서 몇가지 예제들을 먼저 보고 시작하도록 하자.

Example: Solution Curves

y' = cos x

위 식은 양변에 부정적분을 하는 것으로 y를 구할 수 있다. 즉, y = sin x + c 가 된다.

다시 말해서 해가 여러가지가 될 수 있는데, 해가 되는 집합을 family of solutions 라고 한다.

위 그래프는 c가 각각 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 일때를 보여주고 있다.

Examples: Exponential Growth and Decay

y = ce^(3t) → y' = 3ce^(3t) = 3y

어떤 Exponential을 미분하면 또 Exponential 형태가 나오게 되는데, 

위의 식을 보면 y = ce^(3t)는 y' = 3y라는 ODE의 해가 될 수 있음을 곧바로 알 수 있다.

이러한 유형은 Exponential Growth를 Modeling 하는데 사용할 수 있다.

Exponential Decay의 경우 y' = -0.2y 와 같이 디자인 될 수 있으며 

이 ODE의 해는 y = ce^(-0.2t) 가 되겠다. 몇몇 c에 대한 Solution Curves는 위 그림에 표시되어 있다.

위의 예제에서 'c'와 같이 arbitrary constant가 들어있는 해를 General Solution이라고 칭한다.

만약 c가 어떠한 특정한 값으로 지정될 수 있다면, 그래서 c가 없는 어떠한 특정한 해가 나오게 된다면,

그러한 해를 Particular Solution이라고 한다. 

Singular Solution

대부분의 경우 General Solution이 존재하지만, 어떠한 경우에는 Additional Solution이 생기는 경우가 있다.

어떤 것인지 예제를 통해 알아보자.

y'^2 - xy' + y = 0

its general solution is y = cx - c^2

그런데, ODE에 y = (x^2)/4를 대입해보면,

y' = x/2,

(x^2)/4 - (x^2)/2 + (x^2)/4 = 0,

식을 만족한다. 이러한 경우 y = (x^2)/4 역시 해가 되는데, 이를 Singular Solution이라고 한다.

위 그래프에서 General Solution들은 직선 형태로 표시되며, 

Singular Solution은 2차 곡선 형태로 표시되는것을 볼 수 있다.

Initial Value Problem

y' = f(x,y),  y(x_0) = y_0

특정한 지점에서 y값이 결정되는 경우, arbitrary constant c역시 특정한 값으로 결정할 수 있게 된다.

즉, Genenal Solution에서 Initial Condition이 결정되는 경우 Particular Condition을 구할 수 있다.