[Second-order ODEs] Basic Concepts

Linearity

y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)

Second-order ODE는 위와 같이 Second-level Derivative가 최고 차수인 ODE를 말하며,

위와 같은 Standard Form으로  쓸 수 있을 때, Linear라고 하며, 그렇지 못할 때 Nonlinear라고 한다.

마찬가지로 y'' 대신 f(x)y'' 의 형태로 되어있는 경우 양변을 f(x)로 나누어야 한다.

Homogeneity

y'' + p(x)y' + q(x)y = 0

위와 같은 형태로 쓸 수 있는 경우 Homogeneous라고 하며,

r(x)가 0이 아닌 경우 Nonhomogeneous라고 한다.

앞으로 알아보게 될 Second-order ODE는 

Homogeneous와 Nonhomogeneous로 구분하여 풀이법을 배우게 될 것이다.

Superposition Principle

y'' + y = 0

위 함수의 해는 y = sin x, y = cos x 이다.

만약 sin x와 cos x에 각각 임의의 constant를 곱한 다음 그것을 해라고 가정하면 어떨까.

y = A sin x + B cos x 를 위 식에 대입해보자. (A, B 는 arbitrary constant)

y''= - A sin x - B cos x 이므로, 이 역시 해가 될 수 있다.

y_1 = sin x, y_2 = cos x라고 한다면, 

임의의 해는 y = Ay_1 + By_2 라고 할 수 있다. 

보통 Second-order ODE의 경우 이런 sub-solution이 2개 존재하며, 

이들의 linear한 합 역시 ODE의 Solution이 된다.

이러한 해의 형태는 y_1과 y_2의 linear combination 이라고 하며, 

이러한 원리를 Superposition Principle 혹은 Linearity Principle이라고 한다.

이러한 원리의 증명은 다음과 같이 할 수 있다.

괄호 안의 식이 0이므로, y 역시 Solution이 됨을 보였다. 

Initial Value Problem

위와 같이 Initial Value가 주어지는 경우 arbitrary constant c1과 c2가 결정되므로,

General Solution으로 부터 Particular Solution을 구할 수 있다. 

Definition에 대한 정리

General Solution

어떠한 y_1, y_2가 not proportional 하고

각각이 어떤 open interval에서 Solution인 경우, y = c_1y_1 + c_2y_2 는 General Solution이다.

not proportional에 대해서는 아래의 Linearly Dependence에서 좀 더 명확히 설명하도록 하겠다.

Basis

이때의 y_1, y_2를 Basis라고 한다.

Particular Solution

Initial Value에 의해 c_1과 c_2가 특정한 값으로 지정되는 경우의 y = c_1y_1 + c_2y_2 는

Particular Solution이라고 한다.

Linear Dependence

k와 m이 0이 아닐때, y_1 = ky_2, y_2 = my_1으로 쓸 수 있다면,

이때 y_1과 y_2가 proportional하다고 말하게 되며, 이의 경우에는 y_1과 y_2는 Basis가 될 수 없다.

우리는 Linear Dependence를 판단하는 방법을 사용하여, Basis에 대한 재정의를 할 수 있다.

k_1y_1(x) + k_2y_2(x) = 0

위의 식은 Linear Dependence를 판단하는 식이다.

만약 위 식에서 k_1과 k_2 가 각각 0인 경우에 대해서만 위 식을 만족하는 경우, Linearly Independent 하다고 한다. 

한편 k_1과 k_2가 모두 0이 아닌 경우에 대해서 위 식을 만족하는 경우, Linearly Dependent 라고 한다.

즉, Basis를 재 정의하면 다음과 같다.

어떤 open interval에서 y_1과 y_2가 Linearly Independent 하면, y_1과 y_2는 ODE의 Basis가 된다.

Reduction of Order

어떤 Homogeneous Linear ODE가 있는데, 이 ODE의 Basis중 하나를 알고 있다고 가정하자.

이를 편의상 y_1 이라고 하자. 전체의 Solution을 구하기 위해서는 linearly independent Basis y_2를 구해야 한다.

y_2를 구하기 위해서 다음과 같이 쓸 수 있다.

u' = U, u'' = U' 로 치환하면 우리는 Reduction of Order, 

즉 차수를 하나 줄일 수 있으며, 해를 구하기 좀 더 수월해진다. 치환을 한 다음 풀어보면,

위와 같은 식으로 구할 수 있다.

y_2/y_1 = u은 Constant 가 될 수 없으므로 (∵U>0) y_1과 y_2는 Basis of Solution이 될 수 있다.