Linearity

y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)

Second-order ODE는 위와 같이 Second-level Derivative가 최고 차수인 ODE를 말하며,
위와 같은 Standard Form으로  쓸 수 있을 때, Linear라고 하며, 그렇지 못할 때 Nonlinear라고 한다.
마찬가지로 y'' 대신 f(x)y'' 의 형태로 되어있는 경우 양변을 f(x)로 나누어야 한다.



Homogeneity

y'' + p(x)y' + q(x)y = 0

위와 같은 형태로 쓸 수 있는 경우 Homogeneous라고 하며,
r(x)0이 아닌 경우 Nonhomogeneous라고 한다.
앞으로 알아보게 될 Second-order ODE는 
Homogeneous와 Nonhomogeneous로 구분하여 풀이법을 배우게 될 것이다.



Superposition Principle

y'' + y = 0

위 함수의 해는 y = sin x, y = cos x 이다.
만약 sin x와 cos x에 각각 임의의 constant를 곱한 다음 그것을 해라고 가정하면 어떨까.
y = A sin x + B cos x 를 위 식에 대입해보자. (A, B 는 arbitrary constant)
y''= - A sin x - B cos x 이므로, 이 역시 해가 될 수 있다.

y_1 = sin x, y_2 = cos x라고 한다면, 
임의의 해는 y = Ay_1 + By_2 라고 할 수 있다. 

보통 Second-order ODE의 경우 이런 sub-solution이 2개 존재하며, 
이들의 linear한 합 역시 ODE의 Solution이 된다.

이러한 해의 형태는 y_1과 y_2의 linear combination 이라고 하며, 
이러한 원리를 Superposition Principle 혹은 Linearity Principle이라고 한다.

이러한 원리의 증명은 다음과 같이 할 수 있다.


괄호 안의 식이 0이므로, y 역시 Solution이 됨을 보였다. 



Initial Value Problem


위와 같이 Initial Value가 주어지는 경우 arbitrary constant c1과 c2가 결정되므로,
General Solution으로 부터 Particular Solution을 구할 수 있다. 



Definition에 대한 정리

General Solution

어떠한 y_1, y_2가 not proportional 하고
각각이 어떤 open interval에서 Solution인 경우, y = c_1y_1 + c_2y_2 는 General Solution이다.
not proportional에 대해서는 아래의 Linearly Dependence에서 좀 더 명확히 설명하도록 하겠다.

Basis

이때의 y_1, y_2를 Basis라고 한다.

Particular Solution

Initial Value에 의해 c_1과 c_2가 특정한 값으로 지정되는 경우의 y = c_1y_1 + c_2y_2 는
Particular Solution이라고 한다.



Linear Dependence

k와 m이 0이 아닐때, y_1 = ky_2, y_2 = my_1으로 쓸 수 있다면,
이때 y_1과 y_2가 proportional하다고 말하게 되며, 이의 경우에는 y_1과 y_2는 Basis가 될 수 없다.
우리는 Linear Dependence를 판단하는 방법을 사용하여, Basis에 대한 재정의를 할 수 있다.

k_1y_1(x) + k_2y_2(x) = 0

위의 식은 Linear Dependence를 판단하는 식이다.
만약 위 식에서 k_1과 k_2 가 각각 0인 경우에 대해서만 위 식을 만족하는 경우, Linearly Independent 하다고 한다. 
한편 k_1과 k_2가 모두 0이 아닌 경우에 대해서 위 식을 만족하는 경우, Linearly Dependent 라고 한다.

즉, Basis를 재 정의하면 다음과 같다.

어떤 open interval에서 y_1 y_2 Linearly Independent 하면, y_1 y_2 ODE의 Basis가 된다.



Reduction of Order

어떤 Homogeneous Linear ODE가 있는데, 이 ODE의 Basis중 하나를 알고 있다고 가정하자.
이를 편의상 y_1 이라고 하자. 전체의 Solution을 구하기 위해서는 linearly independent Basis y_2를 구해야 한다.
y_2를 구하기 위해서 다음과 같이 쓸 수 있다.


u' = U, u'' = U' 로 치환하면 우리는 Reduction of Order
즉 차수를 하나 줄일 수 있으며, 해를 구하기 좀 더 수월해진다. 치환을 한 다음 풀어보면,


위와 같은 식으로 구할 수 있다.
y_2/y_1 = u은 Constant 가 될 수 없으므로 (∵U>0) y_1과 y_2는 Basis of Solution이 될 수 있다.

Posted by Nicatio

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  1. Kalsmica 2011.04.11 01:07  수정/삭제 댓글쓰기

    응용수학 공부중에 많은 도움을 받습니다 댓글 남기고 갈게요~^^

    • Nicatio 2011.04.11 01:59 신고  수정/삭제

      댓글 남겨주셔서 감사합니다.
      가끔 틀린 부분이 있을 수도 있습니다. 지적해 주시면 감사하겠습니다.

  2. 훈남 2011.04.13 01:22  수정/삭제 댓글쓰기

    superposition 에서 y'' = -Asinx -Bcosx 으로 나와야 되는데 잘 못나왔네요.

  3. 자주보는 사람 2012.04.25 15:36  수정/삭제 댓글쓰기

    맨밑 네모칸에서 네번쨰줄

    lnlul = -2lnly1l - Spdx

    이부분에서

    lnlul 가 아니라 lnlUl 로 U가 대문자로 쓰여야 하는거 같아요