왜 Laplace Transform을 사용하는가? Laplace Transform은 Linear ODE를 푸는 강력한 방법이다. 대략적인 프로세스를 설명하자면, 주어진 ODE를 Laplace Transform하면, 복잡했던 식들이 단순한 대수방정식으로 바뀌게 되는데, 이 방정식을 풀고 난 후, 다시 Inverse Transform하여 원하는 Solution을 얻는 것이다. 이러한 방법의 장점은 두가지가 존재한다. 첫째, Initial Value Problem을 풀기 위해서 General Solution을 구해야 하거나 Nonhomogeneous ODE를 풀기 위해 Homogeneous ODE를 먼저 풀고 나서 풀어야 하는 기존의 방식과는 달리 조금 더 Direct하게 문제를 풀 수 있다. 둘째, Sign..

Form 지난 포스트에서는 p(x)와 q(x)가 Constant로 나타나는 Nonhomogeneous Linear ODE에 대해서만 Particular Solution y_p를 구하는 방법에 대해 알아봤었다. 여기서는 모든 Nonhomogeneous Linear ODE에 대해서, Method of Variation of Parameters를 통해 Particular Solution y_p를 구해보도록 하겠다. 기본적인 형태는 위와 같다. Integration이 때로 복잡한 식으로 나타날 가능성이 많기 때문에, p(x)와 q(x)가 Constant로 나타난다면 이전에 다룬 방법을 사용하는 편이 나을 수 있다. 이제 실제 Example을 통해 어떤 식으로 적용이 가능한지 알아보도록 하겠다. Example y..

Definition Nonhomogeneous Linear ODEs의 기본 모양을 다시 가져와 보면, y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x) 이다. 우리는 이 ODE의 Solution을 구하는 방법에 대해 배울 것이다. 다음의 정의를 살펴보도록 하자. Nonhomogeneous Linear ODEs에서의 General Solution은 위와 같이 정의되는데, y_h와 y_p로 나뉘어져 있는것을 볼 수 있다. y_h는 r(x) = 0 으로 잡았을때 구할 수 있는 Homogeneous Linear ODEs의 General Solution을 의미한다. 한편 y_p는 arbitrary constant를 포함하지 않는 Nonhomogeneous Linear ODEs의 어떤 Solution을 의미한다. ..

Existence and Uniqueness Theorem 이번 포스트에서는 Homogeneous Linear ODEs의 일반해에 대해 다뤄볼 것이다. Homogeneous Linear ODEs의 모양을 다시 한번 가져와 보면 다음과 같다. y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 어떤 일정한 Open Interval I와, 그 구간에 속한 x_0에 대해서, p(x)와 q(x)가 Continuous Function이라면, y(x_0)=K_0, y'(x_0)=K_1과 같은 Initial Values에 의해, y(x)는 Open Interval I에서 Unique Solution을 가진다. 이를 Initial Value Problem 에서의 Existence and Uniqueness Theorem이라고..

Form 이러한 꼴로 나타낼 수 있는 미분 방정식이 있을 때 이를 Euler-Cauchy Equation이라고 부른다. 이렇게 나타나는 미분방정식의 경우에는 앞서 다뤘던 Homogeneous Linear ODE with Constant Coefficients의 방법과 유사한 방식으로 General Solution을 구할 수 있다. Basis y의 Solution의 형태가 x의 m제곱 형태로 나타난다고 가정하고, y'와 y''를 구해서 Form에 대입한다음 정리하는 것으로, Auxiliary Equation을 이끌어낼 수 있습니다. Auxiliary Equation: m^2 + (a-1)m + b = 0 이 Equation을 통해 구한 m_1과 m_2는 각각 y_1 = x^{m_1}, y_2 = x^{m_..

s개요 이번 포스트에서는 Second-order Homogeneous Linear ODEs의 기본 형에서 p(x)와 q(x)가 각각 Constant 형태인 것에 대해서 분석해볼 것이다. 기본적인 모양은 다음과 같이 쓸 수 있다. y'' + ay' + by = 0 우리는 First-order ODEs의 Exponential Growth and Decay에서 해의 모양이 Exponential하게 나오는 것을 보았다. 여기에서 힌트를 얻어 이 ODE에도 다음과 같은 해를 넣어보도록 하자. y=e^{λx} 이를 토대로 y'와 y''를 구해 식을 써보면, 여기서 Characteristic Equation (Auxiliary Equation)을 구할 수 있게 되는데, 바로 이것이 그것이며, λ는 이 Characte..