[Second-order ODEs] with Constant Coefficients
2011. 2. 6. 16:51
s개요
이번 포스트에서는 Second-order Homogeneous Linear ODEs의 기본 형에서
p(x)와 q(x)가 각각 Constant 형태인 것에 대해서 분석해볼 것이다.
기본적인 모양은 다음과 같이 쓸 수 있다.
y'' + ay' + by = 0
우리는 First-order ODEs의 Exponential Growth and Decay에서
해의 모양이 Exponential하게 나오는 것을 보았다.
여기에서 힌트를 얻어 이 ODE에도 다음과 같은 해를 넣어보도록 하자.
y=e^{λx}
이를 토대로 y'와 y''를 구해 식을 써보면,
여기서 Characteristic Equation (Auxiliary Equation)을 구할 수 있게 되는데, 바로
이것이 그것이며, λ는 이 Characteristic Equation의 해가 된다.
우리가 이미 알고 있는 이차방정식의 근의 방정식을 쓰면 해를 얻을 수 있는데,
위와 같다. ODE 전체의 해는 곧
이렇게 얻을 수 있다. 우리는 discriminant(판별식)에 따라서 3가지 경우의 수를 생각해 볼 수 있는데,
λ_1과 λ_2가 둘 다 실수인 경우, 중근인 경우, 허수인 경우이다.
그리고 General Solution은 세가지 경우에 따라 모두 그 모양이 달라진다.
Two Distinct Real Roots
앞서 Second-order ODEs의 Concepts 에서 다뤘듯이, λ_1과 λ_2가 실수인 경우,
y_1과 y_2는 Solution의 Basis가 되므로, 우리는 다음과 같이 General Solution을 구할 수 있다.
실제 예제를 통해서 풀이를 살펴보도록 하자.
Example 1: General Solution
y'' - y = 0
위 ODE의 Characteristic Equation을 구해보면 λ^2 - 1 = 0, 따라서 λ = 1, -1 이 나오므로,
다음과 같이 구할 수 있다.
Example 2: Initial Value Problem
y'' + y' - 2y = 0, y(0) = 4, y'(0) = -5
위 ODE의 Characteristic Equation을 구해보자
λ^2 + λ - 2 = 0, λ = 1, -2
이므로,
위와 같이 구할 수 있으며, Initial Condition을 적용해 보면,
이를 다시 General Solution에 적용시키면,
위와 같은 Particular Solution을 얻을 수 있다.
Real Double Root
discriminant가 0인 경우, 중근을 가진다.
즉, Characteristic Equation의 해는 λ = λ_1 = λ_2 = -a/2 하나를 갖게 된다.
이를 통해 구할 수 있는 ODE의 해는
이것이다. 하지만 하나만 가지고는 Second-order ODE의 Basis를 구성할 수 없다.
따라서 Second Independent Solution y_2를 구하기 위해서 몇 가지 조작이 필요하다.
먼저 우리는 y_2를 다음과 같이 설정할 것이다.
어차피 모양이 같으므로, 썼던 식을 다시 가져오면,
여기서 다만 p와 q가 a와 b라는 Constant로 바뀌어 있을 뿐이다.
여기서 한가지 더 고려해야할 것은 다음이다.
최종적으로는 하나의 항으로 식이 간단해 졌다.
여기서 u'' = 0 임을 알 수 있고, (∵y_1 ≠ 0)
u를 구해보면 다음과 같다.
따라서 General Solution은
위와 같이 구할 수 있다.
Complex Roots
discriminant가 0 미만인 경우 허근을 갖게 되는데,
이 경우 Basis of Real Solutions는 다음과 같이 쓸 수 있다.
cot ωx 가 Contstant가 아닌 이상 y_1과 y_2는 Basis를 구성할 수 있으며,
General Solution은 다음과 같다.
이는 우리가 이미 알고 있는 Euler's Identity를 사용하면 얻을 수 있는데,
다음 식을 따라가 보면 대략 이해가 될 것이다.
이렇게 하여 구한 y_1과 y_2는 General Solution의 Basis가 되겠다.