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[Second-order ODEs] with Constant Coefficients

2011. 2. 6. 16:51

s개요

이번 포스트에서는 Second-order Homogeneous Linear ODEs의 기본 형에서 
p(x)와 q(x)가 각각 Constant 형태인 것에 대해서 분석해볼 것이다.
기본적인 모양은 다음과 같이 쓸 수 있다.

y'' + ay' + by = 0

우리는 First-order ODEs의 Exponential Growth and Decay에서 
해의 모양이 Exponential하게 나오는 것을 보았다. 
여기에서 힌트를 얻어 이 ODE에도 다음과 같은 해를 넣어보도록 하자.

y=e^{λx}

이를 토대로 y'와 y''를 구해 식을 써보면,


여기서 Characteristic Equation (Auxiliary Equation)을 구할 수 있게 되는데, 바로


이것이 그것이며, λ는 이 Characteristic Equation의 해가 된다.
우리가 이미 알고 있는 이차방정식의 근의 방정식을 쓰면 해를 얻을 수 있는데,


위와 같다. ODE 전체의 해는 곧


이렇게 얻을 수 있다. 우리는 discriminant(판별식)에 따라서 3가지 경우의 수를 생각해 볼 수 있는데,
λ_1과 λ_2가 둘 다 실수인 경우, 중근인 경우, 허수인 경우이다.
그리고 General Solution은 세가지 경우에 따라 모두 그 모양이 달라진다.



Two Distinct Real Roots

앞서 Second-order ODEs의 Concepts 에서 다뤘듯이, λ_1과 λ_2가 실수인 경우, 
y_1과 y_2는 Solution의 Basis가 되므로, 우리는 다음과 같이 General Solution을 구할 수 있다.


실제 예제를 통해서 풀이를 살펴보도록 하자.



Example 1: General Solution

y'' - y = 0

위 ODE의 Characteristic Equation을 구해보면 λ^2 - 1 = 0, 따라서 λ = 1, -1 이 나오므로,
다음과 같이 구할 수 있다.




Example 2: Initial Value Problem

y'' + y' - 2y = 0, y(0) = 4, y'(0) = -5

위 ODE의 Characteristic Equation을 구해보자

λ^2 + λ - 2 = 0,  λ = 1, -2 
이므로,


위와 같이 구할 수 있으며, Initial Condition을 적용해 보면,


이를 다시 General Solution에 적용시키면,


위와 같은 Particular Solution을 얻을 수 있다.



Real Double Root

discriminant가 0인 경우, 중근을 가진다. 
즉, Characteristic Equation의 해는 λ = λ_1 = λ_2 = -a/2 하나를 갖게 된다.
이를 통해 구할 수 있는 ODE의 해는


이것이다. 하지만 하나만 가지고는 Second-order ODE의 Basis를 구성할 수 없다. 
따라서 Second Independent Solution y_2를 구하기 위해서 몇 가지 조작이 필요하다.
먼저 우리는 y_2를 다음과 같이 설정할 것이다.

y_2 = uy_1

이것이 
Reduction of Order에서 써먹었던 방법임을 기억한다면, 대략 다음 수순이 예상될 것이라고 생각된다.
어차피 모양이 같으므로, 썼던 식을 다시 가져오면,


여기서 다만 p와 q가 a와 b라는 Constant로 바뀌어 있을 뿐이다.
여기서 한가지 더 고려해야할 것은 다음이다.


최종적으로는 하나의 항으로 식이 간단해 졌다.
여기서 u'' = 0 임을 알 수 있고, (∵y_1 ≠ 0)
u를 구해보면 다음과 같다.


따라서 General Solution


위와 같이 구할 수 있다.



Complex Roots

discriminant가 0 미만인 경우 허근을 갖게 되는데, 
이 경우 Basis of Real Solutions는 다음과 같이 쓸 수 있다.


cot ωx 가 Contstant가 아닌 이상 y_1과 y_2는 Basis를 구성할 수 있으며,
General Solution은 다음과 같다. 


이는 우리가 이미 알고 있는 Euler's Identity를 사용하면 얻을 수 있는데,
다음 식을 따라가 보면 대략 이해가 될 것이다.


이렇게 하여 구한 y_1과 y_2는 General Solution의 Basis가 되겠다.