[Second-order ODEs] Method of Variation of Parameters

Form 

지난 포스트에서는 p(x)와 q(x)가 Constant로 나타나는 Nonhomogeneous Linear ODE에 대해서만

Particular Solution y_p를 구하는 방법에 대해 알아봤었다.

여기서는 모든 Nonhomogeneous Linear ODE에 대해서,

Method of Variation of Parameters를 통해 Particular Solution y_p를 구해보도록 하겠다.

기본적인 형태는 위와 같다.

Integration이 때로 복잡한 식으로 나타날 가능성이 많기 때문에,

p(x)와 q(x)가 Constant로 나타난다면 이전에 다룬 방법을 사용하는 편이 나을 수 있다.

이제 실제 Example을 통해 어떤 식으로 적용이 가능한지 알아보도록 하겠다.

Example 

y'' + y = sec x

먼저 y'' + y = 0의 Basis는 이미 다른 포스트에서 구했듯 cos x와 sin x이다.

먼저 Wronskian을 구하면,

W = y_1y_2' - y_2y_1' = (cos x)(cos x) - (sin x)(- sin x) = 1

이를 통해 y_p를 구하면

위와 같이 구할 수 있다.

General Solution은 다음과 같이 구할 수 있다.