[Second-order ODEs] General Theory and Wronskian

Existence and Uniqueness Theorem

이번 포스트에서는 Homogeneous Linear ODEs의 일반해에 대해 다뤄볼 것이다.

Homogeneous Linear ODEs의 모양을 다시 한번 가져와 보면 다음과 같다.

y'' + p(x)y' + q(x)y = 0

어떤 일정한 Open Interval I와, 그 구간에 속한 x_0에 대해서,

p(x)와 q(x)가 Continuous Function이라면, y(x_0)=K_0, y'(x_0)=K_1과 같은 Initial Values에 의해,

y(x)는 Open Interval I에서 Unique Solution을 가진다.

이를 Initial Value Problem 에서의 Existence and Uniqueness Theorem이라고 한다.

이에 대한 증명은 공학적 측면에서 봤을 때 크게 중요하지 않아 여기서 다루지 않겠다.

다시 말해서, Homogeneous Linear ODEs 에서 Initial Value가 존재하면, 

그에 맞는 Unique Solution 역시 존재한다고 알고 있는 것으로 충분하다.

Wronskian

우리는 이전의 포스트에서 Linear Dependence에 대해 다뤘었다. (관련 링크: http://blastic.tistory.com/84)

Wronskian에 대해 알아 보기 전에 봐두면 조금 도움이 될 것이다.

Linear Dependence를 판단하는 또 다른 방법 중 하나는 Wronskian을 구하는 것이다.

Wronskian은 위와 같은 식으로 구할 수 있으며, 

W = 0 이면 Linearly dependent,

W ≠ 0 이면 Linearly independent하다.

(다만 Wronskian을 정의를 사용하려면 p(x)와 q(x)가 Open Interval I 에서 연속이어야 하며,

 W를 통해 y_1과 y_2는 이 구간에서의 Linearly Dependence를 판단할 수 있다.)

마찬가지로 증명은 생략하도록 하겠다.

Existence of a General Solution

p(x)와 q(x)가 Open Interval I 에서 연속이면 General Solution을 갖는다.

이것이 정리이다. 예를 들어보자. 

어떤 Open Interval I에 속하는 x_0에서 Wronskian 값을 구했는데 1이 나왔다면,

y_1과 y_2는 Linearly Independent 이므로, 둘은 Solution의 Basis가 될 수 있다. 

따라서 General solution은 Open Interval I 에서 y = c_1y_1 + c_2y_2 가 된다. 

A General Solution Includes All Solutions

Existence of a General Solution이 어떤 특정한 지점 x_0에 대한 Solution이라면,

여기서 다루고자 하는 것은 구간 전체에 대한 General Solution이다.

p(x)와 q(x)가 Open Interval I 에서 연속이면 I에서의 모든 Solution y = Y(x) 는 다음과 같이 정의된다.

Y(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)

여기에서 C_1과 C_2는 조건에 맞는 Constant이며, y_1과 y_2는 Basis of solutions 이다.
모든 구간에서 위와 같은 해를 가진다면 Singular Solution을 가지지 않는다.