[Laplace Transforms] Basic Concepts

왜 Laplace Transform을 사용하는가?

Laplace Transform은 Linear ODE를 푸는 강력한 방법이다.

대략적인 프로세스를 설명하자면,

주어진 ODE를 Laplace Transform하면, 복잡했던 식들이 단순한 대수방정식으로 바뀌게 되는데,

이 방정식을 풀고 난 후, 다시 Inverse Transform하여 원하는 Solution을 얻는 것이다.

이러한 방법의 장점은 두가지가 존재한다.

첫째, 

Initial Value Problem을 풀기 위해서 General Solution을 구해야 하거나

Nonhomogeneous ODE를 풀기 위해 Homogeneous ODE를 먼저 풀고 나서 풀어야 하는 기존의 방식과는 달리

조금 더 Direct하게 문제를 풀 수 있다.

둘째,

Signal and System에서 다루었던 Unit Step Function이나 Dirac's Delta Function을 이용하면 

Discontinuous한 ODE나, 조금 더 복잡한 Periodic Function에 대한 문제를 쉽게 풀 수 있다.

Form

Laplace Transform의 기본 형태는 위와 같다. 

(단, f(t)가 t ≥ 0의 경우에 대해서 정의된다는 것을 잊지 않도록 한다.)

어떤 함수 f(t)에 대해서, 위와 같은 변환을 거쳐 얻게되는 이 과정을 Laplace Transform이라고 한다.

또한, Laplace Transform을 한 결과가 되는 식 F(s) 역시 Laplace Transform이라고 한다.

f(t)가 t라는 변수로 이루어진 식이라면, 새롭게 얻게된 식 F(s)는 s라는 변수로 이루어진 식이다.

물론 역방향의 Transform도 가능한데, 이것을 Inverse Transform 이라고 한다.

기본적으로는 위와 같은 모양을 하고 있다. 굳이 Inverse Transform의 구체적인 식을 적자면

(출처: Wikipedia)

위와 같은데, Laplace Transform의 Table을 이용하면 굳이 위와 같은 식을 이용하지 않아도

Inverse Transform을 구할 수 있다. 이에 대해서는 이후에 더 자세히 언급하도록 하겠다.

간단한 예제를 통해 Laplace Transform을 수행해 보도록 하자.

Example

f(t) = 1

이 f(t)에 대해서 F(s)를 구해보도록 하자.

Laplace Transform에 의해 다음과 같이 구할 수 있다.

Linearity

f(t)와 g(t)가 각각 Laplace Transform이 가능하며, af(t)+bg(t)도 Laplace Transform이 가능하면,

다음과 같이 식을 쓸 수 있다.

이를 Laplace Transform의 Linearity라고 한다. 

증명은 위와 같이 할 수 있다.

Table

(Γ(a+1) = a!)

각각의 f(t)에 따른 Laplace Transform은 위와 같이 나타난다.

조금 더 많은 경우에 대해서는 이 링크를 참조하기 바란다. (링크: http://blastic.tistory.com/93)

s-Shifting

s에 대해서 Shifting이 가능한데, f(t)에 e^{at}를 곱해줌으로서 a 만큼 shifting이 가능하다.

식으로 써보면 아래와 같다. 

증명은 아래와 같이 간단히 할 수 있다.

* Laplace Transform의 Existence와 Uniqueness에 대해서는 여기서 따로 언급하지 않겠다.