[Second-order ODEs] Euler-Cauchy Equations

Form

이러한 꼴로 나타낼 수 있는 미분 방정식이 있을 때 이를 Euler-Cauchy Equation이라고 부른다.

이렇게 나타나는 미분방정식의 경우에는 앞서 다뤘던 Homogeneous Linear ODE with Constant Coefficients의 방법과 유사한 방식으로 General Solution을 구할 수 있다. 

Basis

y의 Solution의 형태가 x의 m제곱 형태로 나타난다고 가정하고, 

y'와 y''를 구해서 Form에 대입한다음 정리하는 것으로, Auxiliary Equation을 이끌어낼 수 있습니다.

Auxiliary Equation: m^2 + (a-1)m + b = 0

이 Equation을 통해 구한 m_1과 m_2는 각각 y_1 = x^{m_1}, y_2 = x^{m_2}, 즉 Basis를 구성하게 된다.

Solution: Different Real Roots

여기서도 discriminant에 따라 해의 형태가 조금씩 달라진다.

만약 D > 0 인 경우, 즉 두개의 실근을 얻는 경우에는 특별히 식의 변형은 없다.

General Solution은 위와 같이 구할 수 있다.

Solution: Double Root

D=0일 때, Double Root m_1 = (1-a)/2 가 된다. 이를 대입하면, ODE는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

마찬가지로 y_1 = x^m_1 = x^{(1-a)/2} 가 되는데, 

이전에 배운 Reduction of Order를 통해 y_2 = uy_1으로 설정한 다음, 

ODE를 표준형(y''의 계수가 1인)으로 바꿔주고 나서 u와 U를 구해보자.

y_1과 y_2는 Linear Independence하고, General Solution은 다음과 같이 정의된다.

Solution: Complex Roots

D<0 이면 두 개의 Complex Roots를 가지며,

이때의 m_1과 m_2를 각각 p ± qi 라고 가정하자.

그러면 다음과 같이 쓸 수 있다.

이렇게 해서 구한 General Solution은 아래와 같다.