[Second-order ODEs] Nonhomogeneous ODEs

Definition

Nonhomogeneous Linear ODEs의 기본 모양을 다시 가져와 보면,

y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)

이다. 우리는 이 ODE의 Solution을 구하는 방법에 대해 배울 것이다.

다음의 정의를 살펴보도록 하자.

Nonhomogeneous Linear ODEs에서의 General Solution은 위와 같이 정의되는데,

y_h와 y_p로 나뉘어져 있는것을 볼 수 있다.

y_h는 r(x) = 0 으로 잡았을때 구할 수 있는 Homogeneous Linear ODEs의 General Solution을 의미한다.

한편 y_p는 arbitrary constant를 포함하지 않는 Nonhomogeneous Linear ODEs의 어떤 Solution을 의미한다.

이렇게 구한 y는 Nonhomogeneous Linear ODEs에서의 General Solution이 된다.

여기서 Initial Value를 통해 y_h부분의 c_1과 c_2를 구하면, Particular Solution을 구할 수 있다.

그렇다면 y_p를 어떻게 구할까?

Method of Undetermined Coefficients

어떤 ODE가 다음과 같은 꼴일때, 

(이름을 붙이자면, Nonhomogeneous Linear ODEs with Constant Coefficients가 되겠다.)

우리는 Method of Undetermined Coefficients를 통해서 y_p를 얻는 방법에 대해 이야기 할 것이다.

거기에는 세가지 방법이 있다.

Basic Rule

만약 r(x) 위 표에 속하는 녀석들 중 하나에 속하는 경우, 같은 줄에 있는 y_p(x)를 선택하여,

Undetermined Coefficients, 즉 아직 결정되지 않은 C나 K, M 등을 결정하는 방법이다.

어떤식으로 진행되는지 Example을 보도록 하자.

Example of Basic Rule

y'' + y = 0.001x^2,  y(0) = 0,  y'(0) = 1.5

먼저 y'' + y = 0 에 대한 General Solution을 구한다.

y_h = A cos x + B sin x

그 다음 y_p를 택한다. y_p = Kx^2 이라고 설정하면, y_p'' = 2K 이다.

처음의 ODE에 이를 대입하면, 

y_p'' + y_p = 0.001x^2

2K + Kx^2 = 0.001x^2

좌우변의 모양이 같아야 하는데, 그렇게 할 수 있는 K의 값이 존재하지 않는다.

다시 말해서 K = 0.001로 선택하면 좌우변이 달라지며, K = 0 역시 마찬가지다.

따라서 y_p = Kx^2 는 모순된 Solution이므로 우리는 y_p를 재설정해야한다.

위 표에 따라서 y_p = K_2x^2 + K_1x + K_0 이라고 설정하자. 마찬가지로 y_p'' = 2K_2 이다.

다시 처음의 ODE에 대입해보자.

y_p'' + y_p = 0.001x^2

2K_2 + K_2x^2 + K_1x + K_0 = 0.001x^2

K_2 = 0.001, K_1 = 0, 2K_2 + K_0 = 0

K_0 = -0.002

위와 같이 설정함으로써 최종적으로 y_p는,

y_p = 0.001x^2 - 0.002

가 된다. y = y_h + y_p  이므로,

y = A cos x + B sin x + 0.001x^2 - 0.002

General Solution을 위와 같이 구할 수 있다.

이제 여기에 Initial Value를 적용하여 A, B를 구하면 Particular Solution을 구할 수 있다.

y(0) = A - 0.002 = 0

A = 0.002

y'(0) = - A sin x + B cos x + 0.002x = B = 1.5

따라서 Particular Solution은 다음과 같다.

y = 0.002cos x + 1.5sin x + 0.001x^2 - 0.002

Modification Rule and Its Example

Basic Rule에서 고른 y_p가 Homogeneous Solution과 같아져버리는 경우에는

y_p에 x를 곱하는 방법이 Modification Rule이다.

(만약 Homogeneous 모양이 중근을 가지면 x^2을 곱해야한다.)

구체적으로 어떻게 적용이 가능한지 마찬가지로 예제를 통해 알아보자.

y'' + 3y' + 2.25y = -10 e^{-1.5x},  y(0) = 1,  y'(0) = 0

먼저 y'' + 3y' + 2.25y = 0 의 General Solution을 구하자.

Characteristic Equation을 구해서 풀어보면,

λ^2 + 3λ + 2.25 = (λ + 1.5)^2,

λ = -1.5

y_h = (c_1 + c_2x) e^{-1.5x}

Basic Rule에서 표를 보면 r(x)가 exponential 꼴일때, y_p 역시 exponential 꼴로 설정하라고 표시되어있다.

하지만, Ce^{-1.5x} 라고 설정하게 되면, Homogeneous Solution과 같으므로 겹친다.

또한, 여기에 x를 곱할 경우에도 마찬가지로 겹친다. 따라서 x를 한번 더 곱한다. (결론적으로 x^2를 곱한다.)

그렇게 하면 y_p는,

y_p = C x^2 e^{-1.5x}

y_p' = C (2x - 1.5 x^2) e^{-1.5x}

y_p'' = C (2 - 3x - 3x - 2.25 x^2) e^{-1.5x} 

이렇게 구할 수 있다.

이를 다시 원래 ODE에 넣으면 아래와 같다. (편의상 e^{-1.5x}는 양변에서 나누어 생략하겠다.)

C(2 - 6x + 2.25x^2) + 3C(2x - 1.5x^2) + 2.25Cx^2 = - 10

2C = -10, C = -5

y_p = -5 x^2 e^{-1.5x}

y_p를 구했으므로, y = y_h + y_p에 따라,

y = (c_1 + c_2x) e^{-1.5x} - 5 x^2 e^{-1.5x}

General Solution을 위와 같이 구할 수 있다.

이제 Initial Value를 적용하여 Particular Solution을 구하자.

y(0) = (c_1 + c_2x) e^{-1.5x} - 5 x^2 e^{-1.5x} =  c_1 = 1

y' = (c_2 + -1.5(c_1+ c_2x)) e^{-1.5x} - 10x e^{-1.5x} + 7.5 x^2 e^{-1.5x} 

= c_2 - 1.5c_1 = 0

c_2 = 1.5

∴ y = (1 + 1.5x) e^{-1.5x} - 5 x^2 e^{-1.5x}

Sum Rule and Its Example

Basic Rule의 표에서,

만약 r(x)가 표에 존재하는 함수들의 합의 형태로 나타나는 경우, 

y_p 역시 각각에 맞는 y_p의 합들로 만드는 것을 Sum Rule 이라고 한다.

역시 구체적인 적용 방법을 Example을 통해 알아보도록 하자.

y'' + 2y' + 5y = e^{0.5x} + 40 cos 10x - 190 sin 10x,

y(0) = 0.16,  y'(0) = 40.08

Characteristic Equation을 통해 y_h을 구해보면,

λ^2 + 2λ + 5 = (λ + 1 + 2i)(λ + 1 - 2i) = 0

y_h = e^{-x} (A cos 2x + B sin 2x)

다음으로 y_p를 구해야 하는데, r(x)의 형태가 Exponential과 Sinusoidal로 나뉘어져 있다.

우리는 y_p = y_p1 + y_p2 라고 설정하고, 각각에 대해서 y_p1과 y_p2를 따로 구하는 방법을 사용할 것이다.

먼저 Exponential에 해당하는 y_p1에 대해서 생각하자.

y_p1 = Ce^{0.5x}

y_p1' = 0.5Ce^{0.5x}

y_p1'' = 0.25Ce^{0.5x}

이를 원래 ODE에 대입할 것이다. 주의할 것은 r(x)의 Sinusoidal은 제외시켜야 한다는 것이다.

y_p1'' + 2y_p1' + 5y_p1 = e^{0.5x}

0.25Ce^{0.5x} + Ce^{0.5x} + 5Ce^{0.5x} = e^{0.5x}

C = 0.16

y_p1 = 0.16 e^{0.5x}

이제 Sinusoidal에 대해서 보면,

y_p2 = K cos 10x + M sin 10x

y_p2' = -10K sin 10x + 10M cos 10x

y_p2'' = -100K cos 10x - 100M sin 10x

y_p2'' + 2y_p2' + 5y_p2 = 40 cos 10x - 190 sin 10x

-100K cos 10x - 100M sin 10x - 20K sin 10x + 20M cos 10x + 5K cos 10x + 5M sin 10x 

= 40 cos 10x - 190 sin 10x

-100K + 20M + 5K = 40, -100M - 20K + 5M = -190

∴ K = 0, M = 2,

y_p2 = 2 sin 10x

이제 y_p와 y를 구하면,

y_p = y_p1 + y_p2 = 0.16 e^{0.5x} + 2 sin 10x

y = y_h + y_p = e^{-x} (A cos 2x + B sin 2x) + 0.16 e^{0.5x} + 2 sin 10x

위와 같이 General Solution을 구할 수 있다. 

이제 Initial Value를 이용해 Particular Solution을 구하자. 

y = e^{-x} (A cos 2x + B sin 2x) + 0.16 e^{0.5x} + 2 sin 10x

y' = e^{-x} (- 2A sin 2x + 2B cos 2x - A cos 2x - B sin 2x) + 0.08 e^{0.5x} + 20 cos 10x

y(0) = A + 0.16 = 0.16,  A = 0

y'(0) = 2B - A + 0.08 + 20 = 40.08,  B = 10

∴ y = e^{-x} 10 sin 2x + 0.16 e^{0.5x} + 2 sin 10x