유도 지금까지 다룬 Fourier Series는 Periodic 한 것이나, Finite Interval한 함수에 대해서는 상당히 강력한 해결도구가 되지만, Non-periodic하거나 x축 전체를 사용하는 함수에 대해서는 이를 그대로 적용하기 어렵다. 그래서 나오게 된 개념이 바로 Fourier Integral이다. Fourier Integral은 만약 Period에 사용되는 변수 L을 무한대로 보내버렸을 때에는 과연 어떻게 될 것인가에 대한 생각으로부터 출발한다. L → ∞ 에 따라서 Summation이 Integral로 바뀔 것을 예상해 볼 수 있으며, 식의 간결함을 위해서 w_n을 쓰긴 했지만, 이제 n이 integer일 필요는 없게 되었다. 따라서 이후에는 w_n 대신 w로 바꾸어 쓰게 될 것이..

개요 위 그림의 f(x)를 살펴보자. 반복되는 함수가 아닌, Non-periodic Function이다. 이러한 함수에 대해서 Fourier Series를 만들 방법은 없을까? Half-range Expansion은 f(x)자체를 나타내지는 못하지만, 그러한 함수의 모양이 반복되는 함수를 만들어내는 방법이 될 수는 있다. 위 그림의 (b)와 (c)는 각각 Even Periodic Extension, Odd Periodic Extension의 모양을 보여주고 있다. 각각 2L의 Period를 가지는 Periodic Function이 되었으며, 이러한 함수들은 Fourier Series를 만들 수 있다. 결론적으로 말하면 L이라는 길이의 함수를, Odd, 혹은 Even Function 처럼 반복되는 식 처럼..

정의 이전 포스트의 예제에서도 볼 수 있듯이, 함수가 Even Function인 경우에 b_n 값이 0이 된다든지, (링크: http://blastic.tistory.com/102) 함수가 Odd Function인 경우에 a_0와 a_n 값이 0이 되는 경우를 볼 수 있는데, (링크: http://blastic.tistory.com/101) 이것을 좀 더 유형화 시킨 것이 바로 Even and ODD Function에 대한 Fourier Series이다. 조금 더 정확한 표현으로는 Fourier Cosine Series, Fourier Sine Series가 되겠다. Fourier Cosine Series Fourier Sine Series Example f(x) = x + π, (-π < x

정의 이전의 포스트에서는 Period가 2π인 함수들에 대해서 다뤘다. 하지만 모든 Periodic Function이 모두 2π의 Period를 가질 수는 없는 일. 이번 포스트에서는 Period를 2L이라는 임의의 Period로 바꾸는 방법을 보여주려고 한다. 여기서 사용되는 방법은 Change of scale이라는 것인데, 먼저 이전의 Fourier Series 모양의 f(x) 대신 g(v)로 다시 식을 써보면, 이제 Change of scale을 사용해 v = kx 에 들어갈 k를 구할 것이다. v는 2π의 Period를 가진 함수, x는 새롭게 구할 2L의 Period를 가질 함수가 되어야 한다. 2π = k (2L) k = π / L dv = (π/L) dx 이는 곧 다음과 같은 변화를 이끌어 ..

정의 Fourier Series는 Periodic Function을 나타내는 기본적인 도구로서, 여러 방면에서 상당히 유용하게 쓰인다. Periodic Function에 대한 자세한 내용에 대해서는 (링크: http://blastic.tistory.com/61)를 참조하자. 우리는 이런 Periodic Function 중에서 Period가 2π인 녀석들에 대한 새로운 표현방법에 대해 알아보려고 한다. (여기서의 Period는 Fundamental Period가 아니라는 점을 상기하도록 하자) 먼저 생각해 볼 수 있는 간단한 2π-period-function 들을 나열해 보자. 1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, sin 3x, cos 2x, ... , sin nx, cos nx, ...