[Fourier Transforms] Fourier Integral
2011. 2. 14. 18:59
유도
지금까지 다룬 Fourier Series는 Periodic 한 것이나,
Finite Interval한 함수에 대해서는 상당히 강력한 해결도구가 되지만,
Non-periodic하거나 x축 전체를 사용하는 함수에 대해서는 이를 그대로 적용하기 어렵다.
그래서 나오게 된 개념이 바로 Fourier Integral이다.
Fourier Integral은 만약 Period에 사용되는 변수 L을 무한대로 보내버렸을 때에는
과연 어떻게 될 것인가에 대한 생각으로부터 출발한다.
L → ∞ 에 따라서 Summation이 Integral로 바뀔 것을 예상해 볼 수 있으며,
식의 간결함을 위해서 w_n을 쓰긴 했지만, 이제 n이 integer일 필요는 없게 되었다.
따라서 이후에는 w_n 대신 w로 바꾸어 쓰게 될 것이다.
먼저 시작 하기 전에 a_0, a_n, b_n을 v라는 변수에 관한 Integral로 다시 쓴 뒤, 식에 넣어 다시 써보면,
그리고 다음과 같이 설정하자.
이제 이를 적용하여 f_L을 다시 써보면,
L → ∞ 에 따라서, 1/L → 0으로 접근할 것이므로, 첫번째 항은 삭제된다.
마찬가지로 Δw 역시 0으로 접근할 것이며, 이것은 곧 Infinite Series는 곧 Integral이 될 것이다.
정리해보면,
이며, 간결성을 위해서 일반적으로 다음과 같이 표현한다.
정리
만약 f(x)가 모든 유한한 Interval에서 Piecewise Continuous하고,
Left- and Right-hand Derivative를 가지며,
위끝 아래끝이 무한인 Integral이 존재하는 경우,
(결론적으로는 x축을 통틀어 Finite한 Integral 값을 가져야함)
f(x)는 A(w), B(w)와 함께 Fourier Integral으로 표현 할 수 있다.
Example
다음 함수에 대해서 Fourier Integral으로 표현해 보자.
이를 통해 f(x)를 구해보면,
이 함수는 Integral 을 풀어낼 수 없는 함수이다.
이러한 Integral을 Dirichlet's Discontinuous Factor라고 부른다.
x = 0인 경우에 이 함수는 다음과 같이 쓸 수 있으며,
여기서 Sine Integral의 정의를 이용해 식을 다시 쓸 수 있다.
Fourier Cosine and Sine Integral
Even Function이나 Odd Function에 대해서는 좀 더 간단한 모양이 가능하다.
