[Fourier Transforms] Fourier Series for p = 2L

정의

이전의 포스트에서는 Period가 2π인 함수들에 대해서 다뤘다.

하지만 모든 Periodic Function이 모두 2π의 Period를 가질 수는 없는 일.

이번 포스트에서는 Period를 2L이라는 임의의 Period로 바꾸는 방법을 보여주려고 한다.

여기서 사용되는 방법은 Change of scale이라는 것인데, 

먼저 이전의 Fourier Series 모양의 f(x) 대신 g(v)로 다시 식을 써보면,

이제 Change of scale을 사용해 v = kx 에 들어갈 k를 구할 것이다.

v는 2π의 Period를 가진 함수, x는 새롭게 구할 2L의 Period를 가질 함수가 되어야 한다.

2π = k (2L)

k = π / L

dv = (π/L) dx

이는 곧 다음과 같은 변화를 이끌어 낸다.

최종적으로는 다음과 같이 쓸 수 있다.

Example

다음과 같은 그래프의 Fourier Series를 구해보자.

먼저 위 그래프를 식으로 나타내면,

a_0는 간단히 k/2라는것을 알 수 있으며, a_n에 대해 구해보도록 하자.

b_n의 경우 cos(nπ/2) = 0,  cos(-nπ/2) = 0의 값을 가지므로 0이 된다.

따라서, f(x)를 구해보면,