[Fourier Transforms] Fourier Series

정의

Fourier Series는 Periodic Function을 나타내는 기본적인 도구로서,

여러 방면에서 상당히 유용하게 쓰인다.

Periodic Function에 대한 자세한 내용에 대해서는 (링크: http://blastic.tistory.com/61)를 참조하자.

우리는 이런 Periodic Function 중에서 Period가 2π인 녀석들에 대한 새로운 표현방법에 대해 알아보려고 한다.

(여기서의 Period는 Fundamental Period가 아니라는 점을 상기하도록 하자)

먼저 생각해 볼 수 있는 간단한 2π-period-function 들을 나열해 보자.

1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, sin 3x, cos 2x, ... , sin nx, cos nx, ...

이 함수들은 모두 2π의 Period를 가지고 있다. 이들은 Trigonometric System을 구성한다.

우리는 이를 통해 다음과 같은 Trigonometirc Series를 만들 수 있다.

이 식이 Converge하다고 가정하고, 어떤 함수 f(x)를 다음과 같이 정의할 수 있다고 가정하자.

이렇게 만든 식을 곧 f(x)의 Fourier Series 라고 부르며

f(x)의 Fourier Series는 다음과 같은 방법으로 구할 수 있다.

이에 대한 증명은 아래에 계속 하도록 하고,

아래 예제에 대해서 어떻게 Fourier Series가 f(x)와 같아질 수 있는지 살펴보도록 하자.

Example

정의에 의하여 a_0 = 0 임을 바로 구할 수 있으며 이제 a_n과 b_n을 구해보도록 하겠다.

이를 통해 f(x)를 다시 써보면, 

그래프의 모양을 살펴보자.

위 그림에서 S_1, S_2, S_3는 Fourier Series에서 각각 1번째 항, 2번째 항, 3번째 항까지의 합으로 이루어진 식을

그래프로 그린것이다. 항을 점점 더해 나갈수록 원래 식인 f(x)의 모양에 가까워지는 것을 볼 수 있다.

증명

본격적인 증명에 들어가기 전에,

증명에 유용하게 쓰이는 정리 하나를 소개한 뒤 시작하도록 하겠다.

Orthogonality of the Trigonometric System

삼각함수의 곱셈 정리를 통해 위를 증명할 수 있고 증명이 어렵지 않으므로 여기서 특별히 다루지 않겠다.

이제 앞에서 꺼냈던 식,

을 증명해 보도록 하자. 

먼저 a_0는 다음과 같이 증명할 수 있다.

하나의 Period에서의 sin과 cos의 적분값이 0라는 사실은 굳이 언급하지 않아도 될 것 같다.

한편, a_n과 b_n을 구하기 위해서는 Orthogonality 를 사용해야 한다.

양변에 먼저 Integrating을 하고, 각각 cos mx와 sin mx를 곱하도록 한다.

위 식에서 sin2πm의 경우 m이 integer인 이상 항상 0의 값을 가진다. 따라서 모두 소거되었다.

위 식에서는 마지막에서 cos mx라고 표현되었으나 m이든 n이든, 정해지지 않은 미지수 이므로 상관없다.

이제 b_n을 마저 구해보도록 하자.

모든 증명이 완료되었다.