[Fourier Transforms] Half-Range Expansions

개요

위 그림의 f(x)를 살펴보자. 반복되는 함수가 아닌, Non-periodic Function이다.

이러한 함수에 대해서 Fourier Series를 만들 방법은 없을까?

Half-range Expansion은 f(x)자체를 나타내지는 못하지만,

그러한 함수의 모양이 반복되는 함수를 만들어내는 방법이 될 수는 있다.

위 그림의 (b)와 (c)는 각각 Even Periodic Extension, Odd Periodic Extension의 모양을 보여주고 있다.

각각 2L의 Period를 가지는 Periodic Function이 되었으며, 이러한 함수들은 Fourier Series를 만들 수 있다.

결론적으로 말하면 L이라는 길이의 함수를, Odd, 혹은 Even Function 처럼 반복되는 식 처럼 '가정'하는 것이다.

이제, 예제를 토대로 Half-range Expansion을 수행해 보도록 하자.

Example

사실 특별히 더 수행해야할 계산이 있는 것이 아니며,

그냥 마치 이 함수가 반복되는 함수 인것 처럼 생각하고 그대로 풀면 된다.

먼저 Even Periodic Extension을 수행하면,

a_n도 마저 구하면,

그러나 식이 상당히 복잡하다. 두개의 항을 따로따로 나누어 생각하도록 하겠다.

첫번째 항중 Integral 부분은 위와 같으며,

두번째 항의 Integral은 위와 같다.

이제 이것들을 a_n에 집어 넣으면,

이렇게 구할 수 있다.

n을 차례차례 넣다 보면, n = 2m + 2 (m is integer) 이 아닐때는 a_n = 0 이 됨을 볼 수 있다.

그러므로 f(x)를 정리하면, 

을 구할 수 있다.

Odd Periodic Function의 경우 b_n을 구하면 되며, 같은 방식이므로 여기서는 추가적으로 구하지는 않겠다.

참고

위에 쓰인 수학식의 일부는 다음과 같은 코드를

http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php에 입력하여 얻은 수학식을 gif 형태로 가져오는 것이다.

상당히 복잡하고 어려운 작업이라고 할 수 있다.

\\a_n=\frac{2}{L}\left[\frac{2k}{L}\int^{L/2}_0x\cos{\frac{n\pi}{L}x}\:dx + \frac{2k}{L}\int^{L}_{L/2}(L-x)\cos{\frac{n\pi}{L}x}\:dx\right]

\\\int^{L/2}_0x\cos{\frac{n\pi}{L}x}\:dx 

\\\\= \left[\frac{L}{n\pi}x\sin{\frac{n\pi}{L}x} \right ]^{L/2}_0-\frac{L}{n\pi}\int^{L/2}_0\sin{\frac{n\pi}{L}x}\:dx

\\\\=\frac{L^2}{2n\pi}\sin{\frac{n\pi}{2}}+\frac{L^2}{n^2\pi^2}(\cos{\frac{n\pi}{2}}-1)

\\\int^{L}_{L/2}(L-x)\cos{\frac{n\pi}{L}x}\:dx

\\\\=\left[\frac{L}{n\pi}(L-x)\sin{\frac{n\pi}{L}x} \right ]^L_{L/2}+\frac{L}{n\pi}\int^L_{L/2}\sin{\frac{n\pi}{L}x}\:dx

\\\\=\left(0-\frac{L}{n\pi}\left(L-\frac{L}{2} \right )\sin{\frac{n\pi}{L}x}\right)-\frac{L^2}{n^2\pi^2}\left(\cos{n\pi}-cos{\frac{n\pi}{2}}\right)

\\\\=-\frac{L^2}{2n\pi}\sin{\frac{n\pi}{L}x}-\frac{L^2}{n^2\pi^2}\left(\cos{n\pi}-cos{\frac{n\pi}{2}}\right)

\\a_n=\frac{2}{L}\left[\frac{2k}{L}\left(\frac{L^2}{2n\pi}\sin{\frac{n\pi}{2}}+\frac{L^2}{n^2\pi^2}(\cos{\frac{n\pi}{2}}-1)\right) + \frac{2k}{L}\left(-\frac{L^2}{2n\pi}\sin{\frac{n\pi}{L}x}-\frac{L^2}{n^2\pi^2}\left(\cos{n\pi}-cos{\frac{n\pi}{2}}\right) \right )\right]

\\a_n=\frac{2}{L}\left[\frac{2k}{L}\left(\frac{L^2}{2n\pi}\sin{\frac{n\pi}{2}}+\frac{L^2}{n^2\pi^2}(\cos{\frac{n\pi}{2}}-1)\right)  + \frac{2k}{L}\left(-\frac{L^2}{2n\pi}\sin{\frac{n\pi}{2}x}-\frac{L^2}{n^2\pi^2}\left(\cos{n\pi}-cos{\frac{n\pi}{2}}\right) \right )\right]

\\\\a_n=\frac{4k}{n^2\pi^2}\left[\left(\cos{\frac{n\pi}{2}}-1\right) -\left(\cos{n\pi}-cos{\frac{n\pi}{2}}\right) \right]

\\\\\therefore a_n=\frac{4k}{n^2\pi^2}\left(2\cos{\frac{n\pi}{2}}-1 -\cos{n\pi}\right)

\\f(x)=\frac{k}{2}-\frac{16k}{\pi^2}\left( \frac{1}{2^2}\cos{\frac{2\pi}{L}x}+  \frac{1}{6^2}\cos{\frac{6\pi}{L}x}+\cdots \right)