Form 이러한 꼴로 나타낼 수 있는 미분 방정식이 있을 때 이를 Euler-Cauchy Equation이라고 부른다. 이렇게 나타나는 미분방정식의 경우에는 앞서 다뤘던 Homogeneous Linear ODE with Constant Coefficients의 방법과 유사한 방식으로 General Solution을 구할 수 있다. Basis y의 Solution의 형태가 x의 m제곱 형태로 나타난다고 가정하고, y'와 y''를 구해서 Form에 대입한다음 정리하는 것으로, Auxiliary Equation을 이끌어낼 수 있습니다. Auxiliary Equation: m^2 + (a-1)m + b = 0 이 Equation을 통해 구한 m_1과 m_2는 각각 y_1 = x^{m_1}, y_2 = x^{m_..

s개요 이번 포스트에서는 Second-order Homogeneous Linear ODEs의 기본 형에서 p(x)와 q(x)가 각각 Constant 형태인 것에 대해서 분석해볼 것이다. 기본적인 모양은 다음과 같이 쓸 수 있다. y'' + ay' + by = 0 우리는 First-order ODEs의 Exponential Growth and Decay에서 해의 모양이 Exponential하게 나오는 것을 보았다. 여기에서 힌트를 얻어 이 ODE에도 다음과 같은 해를 넣어보도록 하자. y=e^{λx} 이를 토대로 y'와 y''를 구해 식을 써보면, 여기서 Characteristic Equation (Auxiliary Equation)을 구할 수 있게 되는데, 바로 이것이 그것이며, λ는 이 Characte..

Linearity y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x) Second-order ODE는 위와 같이 Second-level Derivative가 최고 차수인 ODE를 말하며, 위와 같은 Standard Form으로 쓸 수 있을 때, Linear라고 하며, 그렇지 못할 때 Nonlinear라고 한다. 마찬가지로 y'' 대신 f(x)y'' 의 형태로 되어있는 경우 양변을 f(x)로 나누어야 한다. Homogeneity y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 위와 같은 형태로 쓸 수 있는 경우 Homogeneous라고 하며, r(x)가 0이 아닌 경우 Nonhomogeneous라고 한다. 앞으로 알아보게 될 Second-order ODE는 Homogeneous와 Nonhomogeneous로 구..

General Form of Exact ODEs M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 Exact ODE는 위와 같은 형태를 가지는데, M(x,y), N(x,y)는, x와 y로 이루어진 식으로 생각하면 된다. 이러한 형태는 partial derivative로 바꾸어 쓸 수 있는데, 식에서도 알 수 있듯, 어떤 함수 u(x,y)가 Constant일때, 이 함수의 partial derivative의 모양이 곧 Exact ODE가 되는 것이다. 물론, 설명할 필요도 없이 du는 0이 된다. M(x,y), N(x,y)는 위와 같이 정의된다. 그런데, 식을 써보면 위와 같은 결론이 나오게 된다. 위 결론은 어떠한 ODE가 Exact ODE인지를 증명하는데 쓰인다. 한편, 함수 u는 다음과 같은 방법으로 구..

개요 이 카테고리에서는 각종 물리적, 공학적 문제들에 대한 식을 세우는 Modeling 과정을 통해 문제를 수학적 Model로 환원한 다음, (아마도 Differential Equation이 될것이다.) 이에 대한 해법을 토대로 solution을 얻는 방법을 배우게 될 것이다. 먼저 제목에 쓰인 ODE란 Ordinary Differential Equation을 줄인 말이다. 그냥 보편적인 Differential Equation 정도로 생각하면 된다. First-order란 이미 알고 있겠지만 '1차의'라는 뜻으로, 즉 다시 말하면 1차 미분방정식이 되겠다. First-order ODE의 경우 first derivative만 포함되어있는 DE를 뜻한다. (번역하자면, 1번 미분된 미지수만 포함되어있는 DE..