본론에 앞서 Discrete-time LTI System에서 Impulse Response는 개별적으로 적용된다. 예를 들어 x[n] = δ[n] + δ[n-1] 이라고 한다면, 이 때의 Response y[n]은 x_1[n] = δ[n] 일때의 Response y_1[n] 과 x_2[n] = δ[n-1] 일때의 Response y_2[n] 의 합으로 구성 된다. 즉, y[n] = y_1[n] + y_2[n] 이 된다. 여기서 설명하려는 Convolution 역시 이런 성질을 십분 이용하고 있다. 유도 위와 같은 x[n]과 h[n]이 존재한다고 하자. x[n]은 무수히 많은 Impulse들의 합으로 이루어져 있다. 다만 그 Magnitude가 Cosine함수를 따라가고 있을 뿐이다. 굳이 수학식으로 나타..

Unit-impulse Function (Dirac's Delta Function) 여기서의 정의는 위와 같다. 이전의 포스트와 마찬가지로 Signal and System에서 이미 다루었던 적이 있는 녀석이다. 간단히 말해 극히 작은 시간동안에 크기 1의 Input이 들어오는 것으로 생각하면 된다. 자세한 내용은 링크(http://blastic.tistory.com/53)를 참조하기 바란다. Sifting Property sift 라는 단어는 없다. 여기서의 Sifting Property는 Shifting Property와 헷갈리는 것을 막기위한 것이다. Sift는 체로 치다, 체로 거르다라는 뜻으로 delta function에 의해 g(t)의 t=a에 해당하는 값이 걸러져 나와 유래되었다. (angel..

왜 Laplace Transform을 사용하는가? Laplace Transform은 Linear ODE를 푸는 강력한 방법이다. 대략적인 프로세스를 설명하자면, 주어진 ODE를 Laplace Transform하면, 복잡했던 식들이 단순한 대수방정식으로 바뀌게 되는데, 이 방정식을 풀고 난 후, 다시 Inverse Transform하여 원하는 Solution을 얻는 것이다. 이러한 방법의 장점은 두가지가 존재한다. 첫째, Initial Value Problem을 풀기 위해서 General Solution을 구해야 하거나 Nonhomogeneous ODE를 풀기 위해 Homogeneous ODE를 먼저 풀고 나서 풀어야 하는 기존의 방식과는 달리 조금 더 Direct하게 문제를 풀 수 있다. 둘째, Sign..

BIBO Stability (Bounded-input-bounded-output Stability) 어떤 일정한 범위의 Input이 들어갔을때, Output 역시 일정한 범위로 제한되는 경우 BIBO Stability를 만족한다고 말한다. (단, Output은 ZSR) 그런데, 실제 존재하는 System에서 BIBO Stability를 만족하지 않는 System이 존재할까? 결론부터 이야기하자면 모든 Real System은 Stable하다. Strict한 의미에서는 어떠한 system도 unbounded response를 만들어낼 수 없다. 어떤 시스템에서는 Output Signal이 엄청나게 커질 수는 있겠지만 그것이 무한대로 커지지는 않을 것이다. 즉, 결국에는 어떤 범위내에 있게 된다는 뜻이다. 물..

Discrete-time Signal 역시 Singularity Functions를 가지고 있으며 Continuous-time Signal과 유사한면이 있다. 어떤 것들이 있는지 살펴보도록 하자. Unit-impulse Function (Kronecker Delta Function) Continuous-time Function과 비슷해보이지만 약간 다르다. 특히 Continuous-time에서의 Scaling factor가 여기서는 적용되지 않는다. δ[n] = δ[an], where a is nonzero, finite, integer 즉, Scaling factor가 붙더라도, n = 0일때 함수값 역시 0 이다. 하지만 Continuous-time에서와 마찬가지로 이 함수는 Sampling Prop..