[Discrete-time] Singularity Functions

Discrete-time Signal 역시 Singularity Functions를 가지고 있으며 Continuous-time Signal과 유사한면이 있다.

어떤 것들이 있는지 살펴보도록 하자.

Unit-impulse Function (Kronecker Delta Function)

Continuous-time Function과 비슷해보이지만 약간 다르다.

특히 Continuous-time에서의 Scaling factor가 여기서는 적용되지 않는다.

δ[n] = δ[an], where a is nonzero, finite, integer

즉, Scaling factor가 붙더라도, n = 0일때 함수값 역시 0 이다. 

하지만 Continuous-time에서와 마찬가지로 이 함수는 Sampling Property를 가지고 있다. 식을 써보면,

Delta Function의 경우 특정한 지점 n_0에서만 0이 아닌 값을 가지게 되기 때문에, 

어떠한 함수와 곱하게 될 경우 해당 지점에서의 값만 Sampling하게 된다.

다만 Continuous-time 에서는 Integral을 사용했지만 여기서는 Summation을 사용하고있다.

Unit-sequence Function

Continuous-time 에서의 Unit-step Function과 유사하다.

Unit-step Function에서는 n = 0 에서의 값이 약간은 모호한 경향이 있지만 (책마다 설명이 조금씩 다르다.)

Discrete-time에서의 Unit-sequence Function은 n = 0 의 값은 1이며 이에는 이견이 없다.

Unit-step Function에서 Sampling을 통해 얻을 수 있다. (단, u[0] = 1 이어야 한다.)

Signum Function

Continuous-time에서의 Signum Function과 거의 같다. 이외에 특이점은 없다.

Unit-ramp Function

마찬가지로 Continuous-time에서의 Unit-ramp Function과 비슷하다. 

Rectangle Function

Continuous-time에서의 Rectangle Function은 조건이 조금 복잡한 편이지만

Discrete-time에서는 N_w라는 parameter를 통해 좀더 쉽게 표현이 가능하다.

하지만 대신 조금 덜 유용한 편인데, 0이 아닌 Impulse가 항상 홀수개 존재하기 때문이다. (2N_w + 1 개)

Periodic Impulse (Impulse Train)

일정한 간격으로 Impulse가 발생하며, 마찬가지로 Continuous-time과 흡사하다.