[Continuous-time] System Properties_2

BIBO Stability (Bounded-input-bounded-output Stability)

어떤 일정한 범위의 Input이 들어갔을때, Output 역시 일정한 범위로 제한되는 경우 

BIBO Stability를 만족한다고 말한다. (단, Output은 ZSR)

그런데, 실제 존재하는 System에서 BIBO Stability를 만족하지 않는 System이 존재할까?

결론부터 이야기하자면 모든 Real System은 Stable하다. 

Strict한 의미에서는 어떠한 system도 unbounded response를 만들어낼 수 없다.

어떤 시스템에서는 Output Signal이 엄청나게 커질 수는 있겠지만 그것이 무한대로 커지지는 않을 것이다. 

즉, 결국에는 어떤 범위내에 있게 된다는 뜻이다.

물론 그 값이 다른 System에 비해서 매우 크다면 BIBO-unstable 상태로 이해할 수도 있겠지만, 

엄밀히 이야기 하면 그렇지 않을 것이다.

그렇다면 BIBO-unstable한 case의 예는 어떤 것이 있을까.

우리가 앞에서 다뤘던 Integrator을 생각해보자. 

Integrator를 통과한 Signal을 y(t)라고 가정했을 때, y(t) = Int^t_-∞ x(τ) dτ가 된다.

다시 양변을 미분하면, 미분 방정식 y'(t) = x(t)를 얻을 수 있다.

x(t)가 어떤 일정한 constant A를 가진 Signal이라고 가정하면 Input Signal은 Bounded-input이 된다.

하지만 y(t)는 일정한 bound가 없이 계속 상승하게 된다. 

따라서 이 System은 BIBO-unstable System이라고 할 수 있다.

Incremental Linearity

어떤 System이 Linear하지는 않지만, 여러가지 특징들이 Linear System과 비슷할때,

Incrementally linear system이라고 칭하는데, 이것으로는 설명이 모호하다.

위 그림을 보면 System H의 내부를 두 부분으로 나누게 되는데, LTI System 부분과, 

y_0(t)라는 zero-input response의 Addition 부분으로 나뉜다.

Incremental Linearity가 가리키는 것은 곧 Input Signal과 Output Signal의 변화량이 비례할 때를 의미한다.

또한, 큰 틀에서 봤을 때, LTI System은 Incremental Linearity 하다고 할 수 있다.

Causality

가끔 casuality로 철자를 잘못 쓰는 경우가 발생하곤 하는데, 

'cause'라는 단어에서 나온 것임을 기억하면 이해하기가 한결 나을 것이다.

Zero-state Response가 현재와 과거의 Signal에 의해서만 생성될때 Causality를 만족한다.
[ Depend on past and present excitations. ]

정의는 위와 같다. 언뜻 이해하기 어려울 수도 있는데, Non-causal한 경우를 설명하는 편이 빠를 것 같다. 

위 그림을 보면, y[n]이 x[n-1], x[n], x[n+1]의 합으로 정의된 것을 볼 수 있다.

그런데 Real System에서 생각했을때, 우리가 아직 발생하지 않은 미래(?)의 x[n]에 대해서 예상할 수 없을 것이다.

이런 경우를 Non-causal System의 예라고 할 수 있다.

causal 이라는 의미는 System 뿐 아니라 signal에서도 사용되곤 한다.

즉, Causal Signal은 t = 0 이전의 input값이 0임을 의미하는 데에 사용되는데,

이러한 signal이 Causal System의 Input으로 사용되는 경우 Response 역시 t = 0 이전에서 zero가 되기 때문이다.

(여기서 말하는 zero는 y(t) = 0 임을 의미하는게 아니라 zero-state response를 의미한다)

한편, 미래의 Input에만 의존하는 경우 anticausal 이라고 한다.

만약 어떤 signal이 anticausal하다면, 그것은 곧 signal이 t = 0 이후에 항상 zero임을 뜻하는 것이기도 하다.

어떤 System이 Causal하다는 것을 증명하기 위해서는 어떤 finite한 signal이 필요한데,

(이 signal은 다시 말해서 일정 기간에서만 데이터를 가지고 나머지에서는 0값을 갖는다.)

자주 사용되는 것으로는 Unit-impulse Function 같은 것을 생각해 볼 수 있다. 

만약 t = 0 이전에 Response가 zero가 아니라면 Non-causal하다고 할 수 있다.

Memory

어떤 System의 특정 시간의 Zero-state Response가

그 시간 이전의 어떤 Excitation에만 의존할 때,

System은 Memory를 가지고 있다고 할 수 있으며, Dynamic System이라고 할 수 있다.

Electric Circuit에서 다뤘던 Voltage Divider는 이러한 특징을 잘 보여주는 예시라고 할 수 있다.

한편 현재의 Excitation에만 의존하는 System의 경우 Memory가 없다고 할 수 있으며

Static System이라고 할 수 있다.

Causality와 Memory의 개념은 상당히 연관되어있다. 

모든 Static System은 곧 Causal하다고 말할 수 있으며, 

Memory를 가지고 있는 System인지 검증하는 방법은 곧 Causality를 검증하는것과 같은 방법을 사용하면 된다.

Unit-impulse를 사용해서 검증했을 때, t = 0 이전에 Nonzero Response가 있다면,

그 System은 Memory를 가지고 있으나 Causal하지는 않다고 할 수 있다.

하지만 Unit-impulse대신 다른 것을 이용해 검증하는 경우에는 

Memory를 가지면서 Causal한 경우가 있을 수도 있다.

Static Nonlinearity

우리는 이미 Incrementally linear system과, Zero-input System을 통해서 Nonlinear System의 예제를 살펴봤다.

이들은 Homogeneous하지 않으므로 Nonlinear하다고 할 수 있다.

하지만 Nonlinearity는 System을 이루는 각각의 Component의 Nonlinearity에 의해 결정되는 것이 아니라, 

System의 Zero-input Response가 nonzero임으로써 결정되는 것이다.

Non-linearity의 일반적인 의미는 Zero-input Response가 zero라 하더라도 

Response 자체가 Input Signal에 대해 Nonlinear할 때를 말하는데, 

이는 Static Nonlinearity를 가지는 System의 보편적인 결과들이다.

이러한 System은 Memory가 없고 input과 output의 관계가 nonlinear하다.

Diode나 Transistor, Multiplier는 보통 Nonlinear component라고 불리는데,

Input Signal이 어떠한 Factor로 변화할때, Output Signal은 또 다른 Factor에 의해 변화되기 때문이다.

다이오드의 경우 이전에도 다룬적이 있지만, 역방향의 전위차에 대해서는 전류를 흘려보내지 않는다.

어떤 Signal x(t)를 Amplify하는 경우를 생각해 보자. 즉 x(t)가 Ax(t)가 되는 것이다.

만약 Squarer가 Homogeneous하다면 Output Signal은 Ay(t)를 만족해야 하지만,

결과는 A^2y(t)가 될 것이다. 이는 곧 Inhomogeneous함을 의미한다.

하지만, 앞에서도 설명했듯이 Linear System을 분석하는 방법은,

Nonlinear System을 분석하는 데에도 적용될 수 있을 것이다.

Invertibility

유일한(unique) Excitation이 유일한 Zero-state Response를 만들어내는 것을 Invertible System이라고 한다.

이는 곧 Zero-state Response를 통해 Excitation을 역으로 유추해 낼 수 있음을 의미한다.

Linear, time-invariant한 미분방정식의 경우 Invertible System이라고 할 수 있다.

위가 그 예제인데, y(t), 즉 어떠한 Response가 있다면 위 식에 대입해서 Excitation을 구할 수 있다.

물론 Not Invertible한 예제도 존재하는데, 

y(t) = sin(x(t)) 인 경우에는 x(t)를 통해 y(t)를 구할 수는 있다.

하지만 sin함수는 1과 -1을 계속 왔다갔다 하게 되며, 

다시 말해서 무한히 많은 1과 -1, 혹은 다른 값들을 동시에 다른 시간에 갖게 된다. 

따라서 결과가 유일하지 않기 때문에, 다시 원래의 Signal을 구할 수 없게 된다. 

따라서 이 경우에는 Not Invertible하다고 할 수 있다.

결론

우리가 이렇게 System을 분리하는 이유는 결론적으로 System을 좀 더 쉽고 빠르게 이해하기 위해서다.

만약 어떤 System이 Linear하다는 결과가 나왔을때, 그 System을 분석하는 방법은 우리가 따로 만들 필요가 없다.

다른 특성들에 대해서도 마찬가지로, 특성을 먼저 파악한다면, 

우리는 이미 앞에서 배운 특성들을 떠올리면서 System을 분석하는데 많은 도움을 얻을 수 있을 것이다.