[Laplace Transforms] Unit-impulse Function

Unit-impulse Function (Dirac's Delta Function)

 

여기서의 정의는 위와 같다.

이전의 포스트와 마찬가지로 Signal and System에서 이미 다루었던 적이 있는 녀석이다.

간단히 말해 극히 작은 시간동안에 크기 1의 Input이 들어오는 것으로 생각하면 된다.

자세한 내용은 링크(http://blastic.tistory.com/53)를 참조하기 바란다.

 

 

 

 

 

Sifting Property

 

sift 라는 단어는 없다. 여기서의 Sifting Property는 Shifting Property와 헷갈리는 것을 막기위한 것이다.

Sift는 체로 치다, 체로 거르다라는 뜻으로
delta function에 의해 g(t)의 t=a에 해당하는 값이 걸러져 나와 유래되었다.
(angeloyeo@gmail.com님 지적 감사합니다.)

Sifting Property는 아래와 같은 식으로 나타난다.

 

어떠한 함수와 곱해진 상태에서 Integral을 걸면, 

Time Shifting Factor (여기서는 a에 해당한다.)에 해당하는 값만 얻을 수 있게 된다.

이를 통해 Unit-impulse Function의 Laplace Transform을 간단히 구할 수 있다.

 

 

 

 

 

Laplace Transform of Unit-impulse Function

 

Sifting Property를 이용하면 간단히 Laplace Transform을 할 수 있다.

 

 

 

 

 

Example

 

y'' + 3y' + 2y = δ(t - 1),  f(0) = 0,  f'(0) = 0

이 식을 Laplace Transform 하면, 

 

 

위와 같이 구할 수 있다.

식을 잘 보면 Unit-impulse Function 가 결론적으로는 t-Shifting에 이용된 것을 볼 수 있다.