위 그림의 (a)를 살펴보자. 어떤 logic circuit을 그냥 사각형으로 단순화하여 보여주고 있고, input으로는 A, B, C가 들어가고, output으로 f가 나오고 있다. 우리는 (b)와 같이 A, B, C와 f, f'의 관계를 truth table을 만들어 볼 수 있다. 우리는 이 logic circuit을 AND와 OR gate를 이용하여 나타내고 싶다. 그러기 위해서는 이 logic circuit을 어떤 boolean expression으로 나타낼 수 있어야 한다. 여기에 truth table을 이용하게 되는 것이다. Truth table을 살펴보면 ABC가 각각 011, 100, 101, 110, 111일 경우에만 f = 1의 값을 갖는다. 다시말해서 ABC가 011 이거나 100 이..

Methods for Determining if an Equation is Valid 모든 variable combination에 대해서 어떤 equation이 유효한지를 알아보는 방법은 여러가지가 있다. 여기서 지금까지 배운 내용을 바탕으로 몇 가지를 정리해보면, 1. Truth table을 만들고, 모든 variable combination에 대해서 좌우변이 동일한 값을 갖는지 확인한다. 이 방법은 variable의 개수가 늘어날 수록 검사해야 하는 경우의 수가 기하급수적으로 늘어나게 되므로, 상당히 비효율적인 방법이라고 할 수 있다. 2. 지금까지 배운 여러 theorem을 이용하여 equation의 한 변을 다른 한변과 동일하게 만든다. 3. 양변을 개별적으로 simplify해서 같은지 확인한다...

정의 XY + X'Z + YZ = XY + X'Z 어떤 식이 위와 같은 형태를 띄고 있을 때, redundant term (필요없는 항) YZ를 소거할 수 있다. 이러한 항을 consensus term 이라고 한다. 증명은 아래와 같다. 이전의 simplification skill 관련 포스트의 맨 마지막 부분에 multiplying out과 factoring에 활용할 수 있는 유용한 방법에 대해서 설명하고 있다. 거기에 있던 식을 가져와 약간 변형시켜 보면 (X' + Y)(X + Z) 가 되는데, 이것을 무턱대고 풀어보면 X'X + X'Z + XY + YZ 가 된다. X'X = 0이므로 소거되버리지만 YZ가 남는다. 이 때 남아버린 YZ를 소거시킬 수 있는 방법이 바로 the consensus theo..

Exclusive-OR (XOR) Exclusive-OR, 이하 XOR은 위와 같이 정의된다. Operator의 형태는 덧셈기호를 원으로 둘러 싼 모습을 하고 있다. 같은 숫자일 경우에는 0을, 서로 다른 숫자일 경우에는 1을 나타낸다. XOR gate의 모양은 위와 같다. OR gate의 왼쪽에 둥근 호를 더해놓은 형태를 하고 있다. 한편, XOR operator는 아래와 같이 풀어 쓸 수 있다. 위 식에 대한 증명은 생략한다. XOR에 대해서는 다음과 같은 유용한 공식을 사용해 볼 수 있다. Basic Theorems of XOR 대부분의 공식은 truth table을 이용하거나, 혹은 위에서 언급한 관계식을 이용하면 증명 된다. Equivalence Operation (Exclusive NOR; X..

Conditional Probability Mass Function 어떤 event A (P[A]>0)에 대해서, random variable X의 conditional PMF는 다음과 같이 정의된다. 이전 포스트에서 우리는 conditional probability에 대해 다뤘다. 이는 PMF에도 적용할 수 있다. 즉, 어떤 특정 event가 발생했을 조건하에 probability mass function가 정의될 수 있다. 이전의 theorem을 이용하면, 여러개의 conditional PMF를 이용해서 overall PMF를 이끌어 낼 수 있다. 어떤 random variable X에 대해 event space B_1, B_2, ... , B_m 이 존재할때 다음이 성립한다. 이전에 다뤘던 law ..

정의 Average 이외에 어떤 probability model을 설명할 수있는 요소로 variance와 standard deviation을 들 수있다. 이미 '분산'과 '표준편차'로 익숙한 것들이다. 먼저 어떻게 정의되는지 살펴보자. Variance Standard Deviation 먼저 어떤 RV X의 variance는 VAR[X]와 같이 표현한다. 식을 살펴보면, '평균과 가능한 outcome의 차이를 제곱한 것'의 평균을 구한 것으로, 제곱을 하지 않으면 평균과 outcome의 차이가 음의 값이 나오게 되는 경우에 전체 평균이 상쇄되어, 분산, 즉, 각 outcome간의 거리가 얼만큼씩 벌어져 있는지를 나타내는 수치에 의미가 없어지게 된다. 따라서, 제곱을 해줌으로써 그 값이 항상 양수가 나오도록..