정의 Continuous random variable X와 Y의 joint probability density function은 f_X,Y(x,y)로 표시하고 joint CDF와 다음과 같은 관계를 가진다. Single random variable X의 PDF가 단위길이에 대한 확률의 측정이라면, 두개의 random variable X와 Y의 PDF는 단위넓이에 대한 확률의 측정이라고 볼 수 있다. PDF의 정의로 부터, 즉, 어떤 작은 dx, dy에 대해서 위 식이 성립하는 것이고, 이는 곧 joint CDF의 derivative가 joint PDF가 됨을 의미한다. Joint PDF의 정의와 위 식은 곧, joint PDF와 joint CDF가 X, Y에 대한 동일한 확률 모델(equivalent p..

시작 CDF 그래프의 기울기는 continuous RV의 가장 흥미로운 정보를 가지고 있다. 어떤 point x에서의 기울기는 곧 x근처에 X가 있을 확률을 나타내기 때문이다. 왜 그런지 이해하기 위해 다음 그래프를 살펴보자. 위 그림의 p_2를 식으로 써 보면, 즉, delta 만큼의 구간의 확률 p_2는 우리가 이전에서 배운대로 CDF의 차이를 통해서 얻을 수 있다. 여기서의 평균 기울기를 구해 보면, 이와 같게 된다. 만약 delta 값을 0에 가깝게 근접시키면 그것은 곧 x_2에서의 순간기울기와 같게 된다. 즉, 우리는 특정 지점에서의 기울기를 알 수 있게 된다. 특정 지점에서 continuous RV가 PMF값이 0이 된 반면, 여기서는 특정 지점의 기울기를 통해서 해당 continuous RV..

Cumulative Distribution Function (CDF) Random variable X의 cumulative distribution function (이하 CDF)는 다음과 같이 정의된다. 이미 대부분의 주요한 property는 이전의 discrete RV에서의 포스트에서 설명이 되었으며, 이는 discrete RV 뿐 아니라 모든 RV에 적용할 수 있다. 특징 어떤 random variable X에 대해서 다음이 성립한다. CDF의 그래프는 0에서 시작해서 1에서 끝나게 되며, 단조 증가함수 (nondecresing)이다. RV의 값이 어떤 구간안에 속할 확률은 CDF 값의 차이와 같다. 이전 포스트에서 continuous RV에서는 특정 포인트에서의 확률이 정의되는것이 어려웠으나, 위와..

개념 지금까지 우리는 discrete RV에 대해 알아보았다. Discrete RV의 범위는 countable set 으로 나타낼 수 있었다. 여기서부터는 'inteval'이라고 불리는 숫자 구간에 포함되는 모든 실수를 원소로 하는 set이 있을 때, 그 set을 sample space로 갖는 'continuous random variable'에 대해 다루려고 한다. 이 때의 sample space를 continuous sample space라고 한다. 일반적으로 4가지 종류의 continuous set이 존재할 수 있는데, a < b 인 어떤 두 수, a, b가 있을 때, interval의 각 끝은 open interval, 또는 close interval이 될 수 있다. 즉, a < x < b, a

시작 이전의 포스트가 단지 어떤 확률모델에 대한 정의들이었다면 여기서는, 나아가서는 이 이후의 대부분의 내용은 어떠한 experiment에 대한 observation인 random variable(확률 변수)에 대한 내용으로 채워질 것이다. 본격적으로 시작하기 전에, 제목에는 random variable을 RV로 축약해서 사용할 예정이고, 앞에 붙은 discrete의 의미는 아래에서 차차 설명하도록 하겠다. 먼저 확률 변수의 정의를 살펴보자. 정의 Random variable은 어떤 sample space S에 대하여 probability measure P[·]가 정의된 experiment와 sample space에 속한 각각의 outcome에 대해서 어떠한 실수가 대응된 함수로 이루어진 것이다. Ran..