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[Continuous RV] Probability Density Function (PDF)

2012. 2. 12. 01:07

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CDF 그래프의 기울기는 continuous RV의 가장 흥미로운 정보를 가지고 있다.
어떤 point x에서의 기울기는 곧 x근처에 X가 있을 확률을 나타내기 때문이다.
왜 그런지 이해하기 위해 다음 그래프를 살펴보자.


위 그림의 p_2를 식으로 써 보면,

p_2=P[x_2<X\leq x_2+\Delta] = F_X(x_2+\Delta)-F_X(x_2)


즉, delta 만큼의 구간의 확률 p_2는 우리가 이전에서 배운대로 CDF의 차이를 통해서 얻을 수 있다.
여기서의 평균 기울기를 구해 보면,

p_2/\Delta=P[x_2<X\leq x_2+\Delta] = \frac{F_X(x_2+\Delta)-F_X(x_2)}{\Delta}\


이와 같게 된다. 만약 delta 값을 0에 가깝게 근접시키면 그것은 곧 x_2에서의 순간기울기와 같게 된다.
즉, 우리는 특정 지점에서의 기울기를 알 수 있게 된다.
특정 지점에서 continuous RV가 PMF값이 0이 된 반면,
여기서는 특정 지점의 기울기를 통해서 해당 continuous RV 지점의 특성을 알 수 있게 되는 것이다.
더 나아가서 우리는 이를 어떤 함수로 만들어 볼 수 있는데
그것이 PDF라고 줄여 부르는 probability density function이다.



정의

Continuous random variable X의 probability density function (PDF)는 다음과 같이 정의된다.

f_X(x) = \frac{dF_X(x)}{dx}


보통 PDF는 f_X와 같은 notation으로 표현한다.
매우 간단하다. 일반적인 PDF의 특징은 다음과 같다.

\begin{array}{rl} (a)&f_X(x) \ge 0 ~for~all~X\\ (b)&F_X(x) = \int_{-\infty}^{x}f_X(u)du\\ (c)&\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x) dx =1 \end{array}


(a)의 경우 단조증가함수의 특징을 잘 생각해 본다면 당연한 결과다.
(b)의 경우 PDF 정의 식의 양변에 integral을 씌우게 되면 우변이 F_X(x) - F_X(-∞)가 되는데,
F_X(-∞) = 0이 되므로, 결국 (b)와 같게 된다.
(c)는 CDF의 정리 중, F_X(∞) = 1을 기억하고 있다면 당연스레 따라 올 수 밖에 없는 결과다.



특정 구간 확률

P[x_1<X \leq x_2] = \int_{x_1}^{x_2}f_X(x)~dx


특정 구간의 확률은 위와 같이 구할 수 있다.
증명은 아래와 같이 할 수 있다. (사실 CDF의 정리와 PDF의 정의를 이용하는 것으로 끝이다.)

\begin{array}{rll}P[x_1<X \leq x_2] &=&P[X\leq x_2]-P[X\leq x_1]\\&=&F_X(x_2)-F_X(x_1)\\&=& \int_{x_1}^{x_2}f_X(x)~dx \end{array}


식을 잘 보면, 그래프와 x축 사이의 넓이가 곧 확률이 됨을 알 수 있다.

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