[Continuous RV] Cumulative Distribution function (CDF)

Cumulative Distribution Function (CDF)

Random variable X의 cumulative distribution function (이하 CDF)는 다음과 같이 정의된다.

이미 대부분의 주요한 property는 이전의 discrete RV에서의 포스트에서 설명이 되었으며,
이는 discrete RV 뿐 아니라 모든 RV에 적용할 수 있다.

특징

어떤 random variable X에 대해서 다음이 성립한다.

CDF의 그래프는 0에서 시작해서 1에서 끝나게 되며, 단조 증가함수 (nondecresing)이다.
RV의 값이 어떤 구간안에 속할 확률은 CDF 값의 차이와 같다.
이전 포스트에서 continuous RV에서는 특정 포인트에서의 확률이 정의되는것이 어려웠으나,
위와 같이 범위로 잡게 되면 특정 구간의 확률을 구할 수 있다. (위 식의 부등호를 잘 살펴보기 바란다.)

주목할 점은 위 특징이 discrete RV든 continuous RV든 상관없이 성립한다는 점이다.
그렇다면 어떤 RV를 continuous RV라고 할 수 있을까?

Continuous Random Variable (Continuous RV)
 

어떤 random variable X의 CDF가 continuous function일 때
X는 continuous random variable이다.

CDF가 여기서 다시 언급되는 이유는 또 다른 이유가 여기에 있다.
이전의 discrete RV에서의 CDF는 일종의 계단형태의 모양을 가지게 된다.
특정 point에서 CDF값이 한번에 뛰어오르기 때문에 continuous 하다고 하기 어렵다.
반면, continuous RV의 그래프는 직선 혹은 곡선, 혹은 두가지가 복합된 형태로 나타날 수 있다.
계단 형태가 나온다면 최소한 continuous RV라고 부르기 어렵다.

예제

이전 포스트의 원판 예제를 CDF 그래프로 나타내 보면 위와 같이 그릴 수 있다.
이를 식으로 써 보면,

와 같이 쓸 수 있다.