예제 누군가가 어딘가에 전화를 걸어 그 통화시간을 체크했다고 하자. 1/3의 확률로 잘못된 번호를 누르거나 상대방이 통화중이다. 이 때는 통화시간을 0분으로 친다. 그렇지 않으면 2/3 확률로 통화시간이 0~3분 사이에 일정하게 분포해 있다고 하자. Y를 통화시간이라고 했을때, 이 random variable Y에 대해서 CDF, PDF, expected value를 구하라. Event A를 전화 연결이 성공한 것이라고 했을 때, Y의 범위는 0~3 사이가 되므로, law of total probability를 이용해 다음과 같이 CDF를 쓸 수 있다. 만약 event A^c, 그러니까 전화를 받지 않는 event가 발생했다면, Y = 0 이 되므로, 0 ≤ y ≤ 3 에 대해, P[Y ≤ y|A^c] ..

필요성 지금까지는 discrete RV와 continuous RV를 따로 떼어서 설명했다. Discrete RV는 PMF, continuous RV는 PDF라는 함수를 이용해 probability model을 나타냈다. 이러한 함수는 매우 중요한데, probability model의 특징을 나타내는 값들 (expected value, variance 등)을 구하는 계산을 편리하게 하기 때문이다. PMF는 덧셈, PDF는 integral을 사용하고 있다. 만약 우리가 이러한 두 가지 종류의 RV가 섞인 형태, 즉 mixed RV에 대해 이야기 하려면 여기서 설명하고자 하는 delta function이나 step function에 대해 알아야할 필요 있다. 이러한 함수들을 통해 discrete RV와 con..

Unit-step Function Signal and System에서 이미 다루었던 적이 있는 녀석이다. 이 함수에 대해서는 링크(http://blastic.tistory.com/53)를 참조하기 바란다. 여기서는 아래와 같이 정의된다. 어떤 지점 a 에서 값이 점프한다. Signal and System에서 정의된 것은 a = 0, 즉 u(t)인 상태이다. 이제 Unit-step Function의 Laplace Transform을 구해보도록 하자. Unit-step Function이 자주 쓰이는 이유는 이 함수 자체가 어떠한 Switch 역할을 하기 때문이다. 특정한 영역에서만 값을 가지고 그 이외에서는 0이 되는데, 이는 각각 On, Off라고 생각할 수 있다. 즉, u(t) - u(t-2) + u(t..

왜 Laplace Transform을 사용하는가? Laplace Transform은 Linear ODE를 푸는 강력한 방법이다. 대략적인 프로세스를 설명하자면, 주어진 ODE를 Laplace Transform하면, 복잡했던 식들이 단순한 대수방정식으로 바뀌게 되는데, 이 방정식을 풀고 난 후, 다시 Inverse Transform하여 원하는 Solution을 얻는 것이다. 이러한 방법의 장점은 두가지가 존재한다. 첫째, Initial Value Problem을 풀기 위해서 General Solution을 구해야 하거나 Nonhomogeneous ODE를 풀기 위해 Homogeneous ODE를 먼저 풀고 나서 풀어야 하는 기존의 방식과는 달리 조금 더 Direct하게 문제를 풀 수 있다. 둘째, Sign..

A Concept of Discontinuity and Singularity 위의 그림들은 모두 Continuous-time Function에 해당하는 함수들이다. 여기서 설명하는 Continuity or Discontinuity는 Continuous-time과는 별개의 개념이다. 어떤 함수 g(t)에서 Discontinuity한 어떤 시간이 t = t0라고 할때, Discontinuity는 다음과 같은 식으로 표현할 수 있다. 간단히 이야기 하면 어떤 점의 왼쪽과 오른쪽 극한값이 서로 다른 지점이다. Figure 2.2 (b)에서 g(t) 자체는 Continuity한 함수지만, g'(t)를 구한다면, 화살표로 표시한 지점은 g'(t)에서 Discontinuity하다고 할 수 있는 것이다. 또한 g'(t..