[Continuous-time] Functions

A Concept of Discontinuity and Singularity

위의 그림들은 모두 Continuous-time Function에 해당하는 함수들이다.

여기서 설명하는 Continuity or Discontinuity는 Continuous-time과는 별개의 개념이다.

어떤 함수 g(t)에서 Discontinuity한 어떤 시간이 t = t0라고 할때,

Discontinuity는 다음과 같은 식으로 표현할 수 있다.

간단히 이야기 하면 어떤 점의 왼쪽과 오른쪽 극한값이 서로 다른 지점이다.

Figure 2.2 (b)에서 g(t) 자체는 Continuity한 함수지만, g'(t)를 구한다면, 

화살표로 표시한 지점은 g'(t)에서 Discontinuity하다고 할 수 있는 것이다.

또한 g'(t)는 Discontinuous Function이라고 말할 수 있다.

Figure 2.2 (d)는 Discontinuity Function을 보여주고 있다.

하지만 이 함수는 Continuous-time Function이다.

함수 자체가 불연속한것과 시간이 불연속적인것은 별개인 것이다.

Singularity는 Discontinuity와 거의 동의어이며 Singularity Function들은 Signal에서 중요하다.

또한 Singularity Functions의 Derivatives와 Integrals은 서로 연관되어있다.

자세한 내용은 아래에서 계속 이어 설명하도록 하겠다.

Unit-step Function

이 함수는 보통 다른 함수의 일정 범위의 그래프를 '죽이는' 역할을 한다.

위에서는 g(t)로 표시했으나, Unit-step Function은 보통 u(t)로 쓰인다.

예를 들어서 x(t) = sin(t) 라고 가정한다면, x(t)는 t<0에 대해서도 정의될 것이다.

하지만, x(t)u(t)는 어떤가? x(t)u(t)는 t<0에서 모두 0이 될 것이다. 말 그대로 원래 데이터가 '사라지는' 것이다.

또한 Unit-step Function은 다른 함수들을 이끌어내는데 가장 기본적인 함수가 된다.

어떻게 기본 함수가 되는지는 아래를 계속 따라가보면 알 수 있다.

Signum Function

Signum Function은 Unit-step Function과 비슷하다.

단 Magnitude가 1이며, 0 이하에서는 음수, 0 이상에서는 양수값을 가진다.

Unit-ramp Function

어떤 시간 t에서부터 시간에 비례하는 함수를 나타내기에 적절한 함수이다.

위에 표시한 대로, Unit-step Function에 시간변수를 곱한것과 같다.

u(t)와 t축사이의 넓이를 곧 ramp(t)로 나타낼 수 있다.

Unit Impulse Function

Unit Impulse Function은 조금 복잡하게 정의되는 듯 하지만, 

결국은 특정 시간 t에서 1의 값(혹은 Strength)을 가지는 것이라고 생각하면 된다.

그 이외에는 항상 0의 값을 가진다.

Unit Impulse Function은 Unit-step Function과 함께 중요한 역할을 하는 함수인데,

이 함수는 몇가지 중요한 속성(Property)을 가진다.

아래를 참고하라.

Equivalence Property

어떤 함수 g(t)에 Impulse Function을 곱했다고 하자.

그런데 이 함수에 붙어있는 g(t)를 굳이 함수형태로 가지고 있을 필요는 없다.

위 식에서 t0 이외의 공간에서는 함수는 0의 값을 가진다. 

다시 말해서 g(t) 대신 g(t0), 즉 어떤 상수값으로 바꿔 놓는다고 하더라도

결론적으로 나타내는 함수의 모양은 같다. 이러한 속성을 Equivalence Property라고 한다.

Sampling Property

Impulse Function은 적분했을때 항상 1의 값을 가진다. 

위 식에서 g(t)δ(t-t0) => g(t0)δ(t-t0) 으로 바꿀 수 있고 g(t0)는 상수이므로 적분기호 앞으로 빼낼 수 있다.

남은 것은 Impulse Function 적분값 1, 따라서 결론적으로 g(t0)만 남는다.

다시말해서 함수에 Impulse Function을 곱하고 모든 범위에 대해서 적분하면 

t0에 해당하는 함수값을 얻어낼 수 있다. 이를 Sampling Property 라고 한다.

Scaling Property

Scaling Property는 함수 내부에 있던 scaling factor를 밖으로 끄집어냈을 때의 관계를 나타낸다.

증명은 다음과 같이 가능하다.

간단히 하면, 적분했을때, 함수 내부에 있던 요소가 역수로 빠져나오는 것이라고 기억해두면 된다.

Periodic Impulse (Impulse Train)

Unit Impulse가 일정간격으로 무한히 계속되는 것을 Periodic Impulse, 혹은 Impulse Train이라고 부른다.

Periodic Impulse는 Signal과 System을 분석하는데 중요한 역할을 한다. 

나중에 자세히 다뤄질 예정이다.

Unit-rectangle Function

Unit-rectangle Function은 Switch-on, off를 나타내는데 편하다.

즉, t = -1/2 에서 Switch-on 되어 Signal을 읽고, t = 1/2 에서 Switch-off 되는 개념이다.

rect(t) = u(t + 1/2) - u(t - 1/2) 로 나타낼 수 있다.

Unit-triangle Function

삼각형 모양의 Unit-triangle Function이다. u(t)와 ramp(t)로 변환이 가능함을 알 수 있다.

Unit-sinc Function

Unit-sinc Function은 Unit-rectangle Function을 Fourier Transform한 것인데, 

이는 Fourier Transform에 대해 다룰 때 함께 다룰 예정이다.

Dirichlet Function

Dirichlet Function은 Discrete-time Fourier Series와 Transform에서 사용되는 것으로 

여기서는 깊게 다루지 않겠다.