[Laplace Transforms] t-Shifting

Unit-step Function

Signal and System에서 이미 다루었던 적이 있는 녀석이다.

이 함수에 대해서는 링크(http://blastic.tistory.com/53)를 참조하기 바란다.

여기서는 아래와 같이 정의된다.

어떤 지점 a 에서 값이 점프한다. Signal and System에서 정의된 것은 a = 0, 즉 u(t)인 상태이다.

이제 Unit-step Function의 Laplace Transform을 구해보도록 하자.

Unit-step Function이 자주 쓰이는 이유는 이 함수 자체가 어떠한 Switch 역할을 하기 때문이다.

특정한 영역에서만 값을 가지고 그 이외에서는 0이 되는데, 이는 각각 On, Off라고 생각할 수 있다.

즉, u(t) - u(t-2) + u(t-4) 라면, t = 0, 4 에서 Switch를 켜고, 2에서 끄는 것이라고 비유할 수 있다.

이제, 어떤 함수 f(t)에 대해서 Time Shifting (t-Shifting)을 할 차례다.

t-Shifting (Time Shifting)

정의는 위와 같다. 방금전 u(t - a)의 Laplace Transform의 경우 e^{-as} / s 라고 표시되는데,

f(t-a) = 1 이라고 생각하면 이해가 될 것이다. (1을 Laplace Transform 하는 경우 1/s가 된다.)

f(t-a)를 f(t)로 바꾸면, 위와 같은 표현도 가능하다.

실제 문제에서 t-Shifting이 어떻게 적용되는지 알아보자.

Example

다음 식에 대해서 Unit-step Function 을 써서 다시 표현해 보고 Laplace Transform을 수행해 보도록 하자.

먼저 Unit-step Function을 이용해 식을 다시 써보면 위와 같다.

이제 각 항에 대해서 Laplace Transform을 수행한 다음, 다시 합하도록 하겠다.

먼저 첫번째 항에 대해서는,

두번째 항은, 조금 더 복잡하므로, 앞의 항 부분과 뒤의 항 부분을 나누어 풀도록 하자.

위에서 배운대로 t와 Unit-step Function의 time 변수가 다른 위치에 있는 경우에는 

이것을 이용하면 편하다. 두번째 항의 뒷 항을 마저 구하면,

마지막으로 세번째 항에 대해 구하면,

이제 구한 항들을 모두 합하면, 아래 식을 구할 수 있다.

Simple Example

t-Shifting이 위의 식만 가지고는 언뜻 잘 와닿지 않을 것 같아 덧붙여 보려고 한다.

다음 식을 잘 살펴보자.

1/(s-a)에 t-Shifing을 하는 Factor를 곱해놓았다.

그 결과 Time이 1만큼 우측으로 밀려났으며, t < 1 에 대해서는 0의 값을 가지는 식이 만들어졌다.

t-Shifting은 이런 효과를 갖게된다.