Definition Laplace Transform끼리 곱을 해보자. 그 결과를 Inverse Transform 했을 때는 어떻게 나타날까? Convolution은 이 질문에 대한 직접적인 답이 될 것이다. 먼저 이해를 돕기 위해 다음 식을 살펴보자. 거의 보통은 위 식을 만족한다. 그냥 단순히 생각해 볼 수 있는 예제 f(x) = 1, g(x) = 1 를 떠올려보자. 각각의 Laplace Transform은 1/s이다. 우변은 1/s^2가 되겠지만, 좌변은 여전히 1/s이다. 만약 Laplace Trasnform의 곱을 f와 g에 대한 식으로 나타내고 싶다면 어떻게 할까? 그래서 고안해 낸 것이 바로 Convolution이다. 표현은 다음과 같다. 이것만 가지고서는 Convolution이 정확히 어떤 ..

Form 지난 포스트에서는 p(x)와 q(x)가 Constant로 나타나는 Nonhomogeneous Linear ODE에 대해서만 Particular Solution y_p를 구하는 방법에 대해 알아봤었다. 여기서는 모든 Nonhomogeneous Linear ODE에 대해서, Method of Variation of Parameters를 통해 Particular Solution y_p를 구해보도록 하겠다. 기본적인 형태는 위와 같다. Integration이 때로 복잡한 식으로 나타날 가능성이 많기 때문에, p(x)와 q(x)가 Constant로 나타난다면 이전에 다룬 방법을 사용하는 편이 나을 수 있다. 이제 실제 Example을 통해 어떤 식으로 적용이 가능한지 알아보도록 하겠다. Example y..

Definition Nonhomogeneous Linear ODEs의 기본 모양을 다시 가져와 보면, y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x) 이다. 우리는 이 ODE의 Solution을 구하는 방법에 대해 배울 것이다. 다음의 정의를 살펴보도록 하자. Nonhomogeneous Linear ODEs에서의 General Solution은 위와 같이 정의되는데, y_h와 y_p로 나뉘어져 있는것을 볼 수 있다. y_h는 r(x) = 0 으로 잡았을때 구할 수 있는 Homogeneous Linear ODEs의 General Solution을 의미한다. 한편 y_p는 arbitrary constant를 포함하지 않는 Nonhomogeneous Linear ODEs의 어떤 Solution을 의미한다. ..