[Laplace Transforms] Convolution

Definition

Laplace Transform끼리 곱을 해보자. 그 결과를 Inverse Transform 했을 때는 어떻게 나타날까?

Convolution은 이 질문에 대한 직접적인 답이 될 것이다. 먼저 이해를 돕기 위해 다음 식을 살펴보자.

거의 보통은 위 식을 만족한다. 그냥 단순히 생각해 볼 수 있는 예제 f(x) = 1, g(x) = 1 를 떠올려보자.

각각의 Laplace Transform은 1/s이다. 우변은 1/s^2가 되겠지만, 좌변은 여전히 1/s이다.

만약 Laplace Trasnform의 곱을 f와 g에 대한 식으로 나타내고 싶다면 어떻게 할까?

그래서 고안해 낸 것이 바로 Convolution이다. 표현은 다음과 같다.

이것만 가지고서는 Convolution이 정확히 어떤 의미인지 알 수 없다.

Convolution은 다음과 같이 정의된다.

굳이 비유를 하자면, 마치 두개의 함수를 서로 비벼서 반죽해 놓은 결과가 나타나게 된다.

곧잘 와닿지 않을 것 같아 그래프를 그려보면,

단순하게 생각하면, 

두 함수의 겹친 부분의 넓이가 새롭게 만들어지는 함수 y(t)에서는 해당 지점의 값이 되는 것이다.

즉 겹친 부분이 넓을 수록 그래프는 큰 값을 가지게 될 것이고, 그렇지 않으면 그 반대가 된다.

(사실 넓이의 값 자체가 해당 지점의 값이 된다는 언급은 정확한 것은 아니다.

 그냥 개념을 쉽게 이해하기 위한 설명이라고 생각해 두기 바란다. 

 다만 나중에 언급하겠지만, 두개의 넓이의 곱이 최종적으로 얻는 Convolution의 넓이와 같긴 하다.)

예제를 통해 Convolution을 좀 더 살펴보도록 하자.

Example

f(x)=e^{at},  g(t) = 1

Convolution을 위와 같이 수행할 수 있다.

Properties

Integral Equations

Convolution은 Integral Equation이라고 불리는 방정식을 풀때도 사용되는데,

Differential Equation과는 반대로, y(t)가 integral의 형태로 나타나는 방정식을 말한다.

Volterra Integral Equation 이라고 불리는 예제을 풀어보도록 하자.

양변을 Laplace Transform하면, 

Convolution을 통해 간단히 문제를 해결하였다.

For Nonhomogeneous Linear ODEs

Convolution은 Nonhomogeneous Linear ODE에 대해서도 좋은 해결책이 된다.

우리가 이미 이전 포스트에서 다뤘던 내용을 다시 가져와 보면, (링크: http://blastic.tistory.com/94)

Transfer Function Q에 의하여 위와 같이 정리할 수 있는데,

y(0)와 y'(0)가 0의 값을 가지는 경우에는 곧 Y = RQ가 된다.

우변의 RQ는 Laplace Transform끼리의 곱이다. 즉, 여기에도 Convolution을 적용할 수 있다는 의미가 된다.