개요 하나의 random variable을 생성하는 experiment에서의 event는 하나의 지점이나 혹은 line으로 된 interval 형태로 나타난다. 한편, 2개의 random variable을 얻을 수 있는 experiment의 경우에는, 각각의 outcome은 (x,y)와 같이 평면상의 한 점(point)으로 나타나고, event는 평면위의 point나 넓이를 갖는 영역으로 나타나게 된다. 2 random variable에서는 'joint CDF'를 이용해서 표현한다. 이 joint CDF의 범위는 일반적으로 아래와 같이 생각하면 된다. 특정 포인트 (x,y)를 기준으로 음의 무한대까지의 범위를 말한다. 정의 Random variable X와 Y의 joint cumulative distri..

CDF and PDF of Derived RV Y = aX 이고, a > 0를 만족하는 두 개의 random variable X, Y의 CDF와 PDF는 다음과 같은 관계를 갖는다. 위 정리에 대한 증명은 다음과 같다. 만약 a가 1보다 크다면, 전체적인 Y의 PDF의 모양은 원래의 X의 PDF에서 늘어나는 형태가 될 것이고 a보다 작으면 범위가 줄어드는 형태가 된다. 형태는 아래 예제를 통해서 살펴보게 될 것이다. 한편 Y = X + b를 만족하는 random variable X, Y가 있을 때 다음을 만족한다. 역시 마찬가지로 다음과 같이 증명된다. Example 1 다음과 같이 삼각형 형태의 PDF가 있다고 하자. Y = aX인 random variable Y에 대해서 PDF를 구해보면, (단, a..

예제 누군가가 어딘가에 전화를 걸어 그 통화시간을 체크했다고 하자. 1/3의 확률로 잘못된 번호를 누르거나 상대방이 통화중이다. 이 때는 통화시간을 0분으로 친다. 그렇지 않으면 2/3 확률로 통화시간이 0~3분 사이에 일정하게 분포해 있다고 하자. Y를 통화시간이라고 했을때, 이 random variable Y에 대해서 CDF, PDF, expected value를 구하라. Event A를 전화 연결이 성공한 것이라고 했을 때, Y의 범위는 0~3 사이가 되므로, law of total probability를 이용해 다음과 같이 CDF를 쓸 수 있다. 만약 event A^c, 그러니까 전화를 받지 않는 event가 발생했다면, Y = 0 이 되므로, 0 ≤ y ≤ 3 에 대해, P[Y ≤ y|A^c] ..

필요성 지금까지는 discrete RV와 continuous RV를 따로 떼어서 설명했다. Discrete RV는 PMF, continuous RV는 PDF라는 함수를 이용해 probability model을 나타냈다. 이러한 함수는 매우 중요한데, probability model의 특징을 나타내는 값들 (expected value, variance 등)을 구하는 계산을 편리하게 하기 때문이다. PMF는 덧셈, PDF는 integral을 사용하고 있다. 만약 우리가 이러한 두 가지 종류의 RV가 섞인 형태, 즉 mixed RV에 대해 이야기 하려면 여기서 설명하고자 하는 delta function이나 step function에 대해 알아야할 필요 있다. 이러한 함수들을 통해 discrete RV와 con..

Uniform Random Variable 위와 같은 PDF를 가진 continuous RV를 uniform (a, b) RV 라고한다. 이전의 원판위에서 포인터 돌리기 예제를 일반화 한 것이라고 볼 수 있다. 일반적으로 a, b는 어떤 constant이므로, 1/(b-a) 역시 constant값이 된다. 따라서 CDF의 그래프는 일정한 기울기를 갖게된다. 이전의 continuous RV의 정리를 이용해서 다음의 정리를 얻을 수 있다. 한편 continuous RV와 discrete RV관계는 직접적인 관계를 갖는 것들이 꽤 많다. X를 uniform (a, b) RV라고 하고, K를 다음과 같다고 하자. 여기서 나타난 X 양옆의 기호는 이전에 설명했던 ceil (올림)이다. 이 때의 X는 discret..

시작 CDF 그래프의 기울기는 continuous RV의 가장 흥미로운 정보를 가지고 있다. 어떤 point x에서의 기울기는 곧 x근처에 X가 있을 확률을 나타내기 때문이다. 왜 그런지 이해하기 위해 다음 그래프를 살펴보자. 위 그림의 p_2를 식으로 써 보면, 즉, delta 만큼의 구간의 확률 p_2는 우리가 이전에서 배운대로 CDF의 차이를 통해서 얻을 수 있다. 여기서의 평균 기울기를 구해 보면, 이와 같게 된다. 만약 delta 값을 0에 가깝게 근접시키면 그것은 곧 x_2에서의 순간기울기와 같게 된다. 즉, 우리는 특정 지점에서의 기울기를 알 수 있게 된다. 특정 지점에서 continuous RV가 PMF값이 0이 된 반면, 여기서는 특정 지점의 기울기를 통해서 해당 continuous RV..