2012/02
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2012.02.10 [Discrete RV] Conditional PMF and Expected Value
Conditional Probability Mass Function 어떤 event A (P[A]>0)에 대해서, random variable X의 conditional PMF는 다음과 같이 정의된다. 이전 포스트에서 우리는 conditional probability에 대해 다뤘다. 이는 PMF에도 적용할 수 있다. 즉, 어떤 특정 event가 발생했을 조건하에 probability mass function가 정의될 수 있다. 이전의 theorem을 이용하면, 여러개의 conditional PMF를 이용해서 overall PMF를 이끌어 낼 수 있다. 어떤 random variable X에 대해 event space B_1, B_2, ... , B_m 이 존재할때 다음이 성립한다. 이전에 다뤘던 law ..
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2012.02.09 [Discrete RV] Variance and Standard Deviation
정의 Average 이외에 어떤 probability model을 설명할 수있는 요소로 variance와 standard deviation을 들 수있다. 이미 '분산'과 '표준편차'로 익숙한 것들이다. 먼저 어떻게 정의되는지 살펴보자. Variance Standard Deviation 먼저 어떤 RV X의 variance는 VAR[X]와 같이 표현한다. 식을 살펴보면, '평균과 가능한 outcome의 차이를 제곱한 것'의 평균을 구한 것으로, 제곱을 하지 않으면 평균과 outcome의 차이가 음의 값이 나오게 되는 경우에 전체 평균이 상쇄되어, 분산, 즉, 각 outcome간의 거리가 얼만큼씩 벌어져 있는지를 나타내는 수치에 의미가 없어지게 된다. 따라서, 제곱을 해줌으로써 그 값이 항상 양수가 나오도록..
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2012.02.09 [Boolean Algebra] DeMorgan's Law
DeMorgan's Laws (X + Y)' = X'Y' (XY)' = X' + Y' (X' + Y')' = XY (X'Y')' = X + Y (A + B + C + D + E + F + … )' = A'B'C'D'E'F' … ABCDEF … = A' + B' + C' + D' + E' + F' + … NOT operation을 통해서 OR operation과 AND operation을 서로 맞바꿀 수 있다. 우리는 이를 complement operation이라고 부르기도 한다. OR이나 AND operator가 여러개 붙어있더라도 모두 적용된다. 몇 가지 예제를 살펴보자. Finding a Complement (A' + B)C' '위 expression의 complement를 찾아라'라는 문제는 곧 [..
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2012.02.09 [Boolean Algebra] Simplification Skills
Simplifying Theorem 어떤 expression이 좌변과 같은 형태인 경우에 우변으로 간단하게 바꿀 수 있다. (1), (2), (5)의 경우에는 앞서 배웠던 associative / distributive law를 이용하면 간단히 증명된다. 나머지의 경우는 다음과 같이 증명된다. 이러한 법칙들은 다양하게 이용할 수 있는데, 보통 복잡해 보이는 식들도 치환법과 위의 법칙을 함께 사용하면 매우 쉽게 정리된다. 몇 가지 예제를 살펴보자. Simplifying Examples Z = A'BC + A' X = A', Y = BC 로 치환하면, Z = XY + X 와 같이 나타낼 수 있으므로, 위의 (3)번 식을 적용할 수 있다. 즉 Z = X = A' 로 간단히 할 수 있다. Z = (A + B'C..
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2012.02.08 [Boolean Algebra] Basic Laws
Basic of Basic 이 포스트에서는 boolean algebra의 가장 기초적인 법칙들에 대해서 다루도록 하겠다. 먼저 다음에 소개될 법칙들은, 그 중에서도 가장 기본적인 법칙으로 그 증명은 그냥 X에 0 또는 1을 넣는 것이면 된다. (여기서 부가적인 증명은 하지 않는다.) 또한 X 대신 어떤 expression을 넣는다 하더라도 아래의 법칙들은 모두 true이다. Operations with 0 and 1 X + 0 = X X + 1 = 1 X · 0 = 0 X · 1 = X Idempotent Laws X + X = X X · X = X Involution Law (X')' = X Laws of Complementarity X + X' = 1 X · X' = 0 Commutative Law ..
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2012.02.08 [Boolean Algebra] Truth Table
앞에서 배운 3가지 basic operation들을 조합하면 다양한 expression들을 만들어 낼 수 있다. Expression은 표현식, 즉, 등호가 포함되지 않은 여러개의 항으로 이루어진 식이다. 위의 그림을 보면 AB' + C, (A + C)(B' + C) 등과 같이 여러개의 operator와 operand들을 조합해서 expression을 만들어낼 수 있다. 이러한 expression은 A, B, C... 등의 variable이 어떤 값을 갖느냐에 따라 expression 전체가 나타내는 값이 달라진다. 이를 알아보기 쉽게 표현한 것이 truth table이며 '진리표'라고 풀이한다. 일반적으로 왼편에 수식에 들어있는 변수들의 모든 가능한 경우를 나열한 다음 우측에 expression과 함께 ..