2012/02
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2012.02.11 [Continuous RV] Continuous Sample Space
개념 지금까지 우리는 discrete RV에 대해 알아보았다. Discrete RV의 범위는 countable set 으로 나타낼 수 있었다. 여기서부터는 'inteval'이라고 불리는 숫자 구간에 포함되는 모든 실수를 원소로 하는 set이 있을 때, 그 set을 sample space로 갖는 'continuous random variable'에 대해 다루려고 한다. 이 때의 sample space를 continuous sample space라고 한다. 일반적으로 4가지 종류의 continuous set이 존재할 수 있는데, a < b 인 어떤 두 수, a, b가 있을 때, interval의 각 끝은 open interval, 또는 close interval이 될 수 있다. 즉, a < x < b, a
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2012.02.10 [Truth Table] Minterm and Maxterm Expansions
Minterm & Maxterm n개의 variable, A, B, C ... 가 있다고 하자. 각각의 variable 또는 그의 complement(A' 와 같은)를 한번씩만 사용하여 어떤 곱을 만든것을 minterm이라고 한다. 예를 들면, variable이 A, B, C 3가지가 있다면, ABC, ABC', A'BC ... 와 같은 것들을 minterm이라고 부를 수 있다. 각각의 variable 또는 그의 complement(A' 와 같은)를 한번씩만 사용하여 어떤 합을 만든것을 maxterm이라고 한다. 예를 들면, variable이 A, B, C 3가지가 있다면, A + B + C, A + B + C' ... 와 같은 것들을 maxterm이라고 할 수 있다. Minterm & Maxterm E..
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2012.02.10 [Truth Table] Combinational Logic Design
위 그림의 (a)를 살펴보자. 어떤 logic circuit을 그냥 사각형으로 단순화하여 보여주고 있고, input으로는 A, B, C가 들어가고, output으로 f가 나오고 있다. 우리는 (b)와 같이 A, B, C와 f, f'의 관계를 truth table을 만들어 볼 수 있다. 우리는 이 logic circuit을 AND와 OR gate를 이용하여 나타내고 싶다. 그러기 위해서는 이 logic circuit을 어떤 boolean expression으로 나타낼 수 있어야 한다. 여기에 truth table을 이용하게 되는 것이다. Truth table을 살펴보면 ABC가 각각 011, 100, 101, 110, 111일 경우에만 f = 1의 값을 갖는다. 다시말해서 ABC가 011 이거나 100 이..
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2012.02.10 [Boolean Algebra] Proving Validity of an Equation
Methods for Determining if an Equation is Valid 모든 variable combination에 대해서 어떤 equation이 유효한지를 알아보는 방법은 여러가지가 있다. 여기서 지금까지 배운 내용을 바탕으로 몇 가지를 정리해보면, 1. Truth table을 만들고, 모든 variable combination에 대해서 좌우변이 동일한 값을 갖는지 확인한다. 이 방법은 variable의 개수가 늘어날 수록 검사해야 하는 경우의 수가 기하급수적으로 늘어나게 되므로, 상당히 비효율적인 방법이라고 할 수 있다. 2. 지금까지 배운 여러 theorem을 이용하여 equation의 한 변을 다른 한변과 동일하게 만든다. 3. 양변을 개별적으로 simplify해서 같은지 확인한다...
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2012.02.10 [Boolean Algebra] The Consensus Theorem
정의 XY + X'Z + YZ = XY + X'Z 어떤 식이 위와 같은 형태를 띄고 있을 때, redundant term (필요없는 항) YZ를 소거할 수 있다. 이러한 항을 consensus term 이라고 한다. 증명은 아래와 같다. 이전의 simplification skill 관련 포스트의 맨 마지막 부분에 multiplying out과 factoring에 활용할 수 있는 유용한 방법에 대해서 설명하고 있다. 거기에 있던 식을 가져와 약간 변형시켜 보면 (X' + Y)(X + Z) 가 되는데, 이것을 무턱대고 풀어보면 X'X + X'Z + XY + YZ 가 된다. X'X = 0이므로 소거되버리지만 YZ가 남는다. 이 때 남아버린 YZ를 소거시킬 수 있는 방법이 바로 the consensus theo..
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2012.02.10 [Boolean Algebra] Exclusive-OR (XOR) & XNOR
Exclusive-OR (XOR) Exclusive-OR, 이하 XOR은 위와 같이 정의된다. Operator의 형태는 덧셈기호를 원으로 둘러 싼 모습을 하고 있다. 같은 숫자일 경우에는 0을, 서로 다른 숫자일 경우에는 1을 나타낸다. XOR gate의 모양은 위와 같다. OR gate의 왼쪽에 둥근 호를 더해놓은 형태를 하고 있다. 한편, XOR operator는 아래와 같이 풀어 쓸 수 있다. 위 식에 대한 증명은 생략한다. XOR에 대해서는 다음과 같은 유용한 공식을 사용해 볼 수 있다. Basic Theorems of XOR 대부분의 공식은 truth table을 이용하거나, 혹은 위에서 언급한 관계식을 이용하면 증명 된다. Equivalence Operation (Exclusive NOR; X..