[Fourier Transforms] Fourier Cosine and Sine Transforms

개요

Integral Transform 이란 주어진 함수를 Integral의 형태로 변환시키는 것으로,

ODE와 PDE, Integral Equation을 푸는데 자주 사용되는 도구라고 할 수 있다.

이전에 다뤘던 Laplace Transform 역시 Integral Transform의 한 종류라고 할 수 있다.

여기서는 Fourier Transform에 대해 다뤄보겠다.

Fourier Transform은 Fourier Integral으로부터 얻을 수 있다.

Fourier Transform은 Fourier Cosine Transform과 Fourier Sine Transform으로 나뉘며,

각각은 Even Function과 Odd Function에 대해 사용한다. 

Fourier Cosine Transform

Even Function f(x)에서의 Fourier Integral은 Fourier Cosine Integral이다.

Fourier Cosine Integral은 위와 같이 쓸 수 있다.

그리고 Fourier Cosine Transform은 다음과 같이 설정된다. 먼저, 

위와 같이 설정하고, v 대신 x를 이용해 식을 쓰면, 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

Fourier Sine Transform

Odd Function의 경우에는 Fourier Sine Integral으로 부터 Fourier Sine Transform을 구할 수 있다.

마찬가지로 먼저, 

라고 설정하고, 마찬가지로 구하면,

Notation은 다음과 같이 표현할 수 있다.

Example

다음 식에 대해서 Fourier Cosine and Sine Transform을 수행해보자.

주어진 정의에 의해 식을 써보면,

위와 같이 구할 수 있다.

Linearity

a, b가 Constant이고, f, g가 각각 Fourier Cosine Transform을 가지고 있을 때,

다음과 같은 식을 통해 Linearity를 증명할 수 있다.

Fourier Sine Transform에 대해서도 마찬가지 방법으로 증명이 가능하다. 

Derivative

f(x)가 Continuous 하고 x축에서 Integrable하다고 하자.

또한 f'(x)가 모든 유한한 구간에서 Piecewise Continuous 하며, x → ∞ 일때, f(x) → 0  이라고 하자.

이 경우 다음과 같이 Derivative에 대한 Fourier Cosine Transform은 다음과 같이 수행할 수 있다.

마찬가지 방법으로 Fourier Sine Transform은 다음과 같이 구할 수 있다.

정리하면 다음과 같다. (추가적으로 Second-level Derivative도 포함되어있다.)