[Fourier Transforms] Concepts

Complex Fourier Integral

이전의 포스트에서 다룬 Fourier Cosine and Sine Transform은 실수 범위에 대한 Transform이다.

이제 Fourier Integral을 토대로, 복소수 범위에 대한 Transform인 Fourier Transform을 얻어 보려고 한다.

일단, 그 전에 Complex Fourier Integral을 얻어야 한다.

차근차근 식을 써 내려가 보도록 하겠다.

먼저 Fourier Integral을 다시 가져와 보면,

여기서 A(w)와 B(w)를 f(x)에 다시 집어 넣고 식을 다시쓰면,

위와 같이 정리할 수 있다. 

위의 Integral을 보면, w에 관한 Integral의 경우 아래끝이 0임을 볼 수 있는데, 이것을 -∞으로 확장할 것이다. 

이미 알고 있듯이, Cosine 함수는 Even Function이므로, cos(wx-wv)는 Even Function이다.

f(v)는 w와 관련이 없기 때문에, 안쪽의 Integral의 경우 v에 대해 Integrating이 될 것이다.

이렇게 구한 Integration을 F(w)라고 하자.

F(w)를 0~∞ 까지 적분한 것은 결국 -∞~∞ 까지 적분한 결과의 1/2에 해당한다. 

따라서 f(x)를 다음과 같이 쓸 수 있다.

이제, Complex Form을 나타내야 하는데, 

함수 내부를 Euler's Identity를 적용할 수 있도록 만들 필요가 있다. 

(우리의 목적은 복소수에 대한 Transform이다!)

임의로 함수 내부의 Cosine을 Sine으로 바꿔보면, 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

sin(wx-wv)는 Odd Function이므로 이와 같은 결론을 얻을 수 있다.

이제 Euler's Identity를 활용할 시간이 왔다.

이렇게 얻어낸 식이 바로 Complex Fourier Integral이다.

Fourier Transform & Inverse Fourier Transform

이제 이를 토대로 Fourier Transform과 Inverse Fourier Transform을 정의해보도록 하자.

내부의 Integral에서는 e^{iwx}는 상수로 처리될 수 있는 부분이므로, 

우리는 Integral을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

대괄호 내부의 식이 바로 Fourier Transform으로 정의되는 부분이다. 

v 대신 x를 사용하여 나타내면, 아래와 같으며, Inverse Transform은 그 바깥부분에 해당한다.

Fourier Transform

Inverse Transform

Fourier Transform의 다른 표현으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

Example

위와 같은 함수에 대해서 Fourier Transform을 구해보자.

여타 다른 Transform과 다를 게 없이 함수를 넣고 풀면 끝이다.