Differentiation of Transforms 이번엔 Laplace Transforms 자체를 미분과 적분을 해보려고 한다. 먼저 F(s) 대해 미분을 해보자. 위와 같은 결론을 얻을 수 있는데, 이것이 의미하는 것을 정리해 보면 아래와 같이 쓸 수 있다. 원래 함수 앞에 t가 붙는 경우, Transform에 미분의 효과를 미치는 것을 볼 수 있다. 좀 더 자세한 접근을 위해 예제를 풀어보도록 하자. Example 1 t f(t) = t sin αt 위 식을 Laplace Transform 해보자. 정의를 이용하면 쉽게 풀 수 있다. Integration of Transforms 이번엔 F(s)를 적분할 차례다. s를 Integrating 해줄 변수는 혼란을 방지하기 이해서 s위에 tilde를 올..

Definition Laplace Transform끼리 곱을 해보자. 그 결과를 Inverse Transform 했을 때는 어떻게 나타날까? Convolution은 이 질문에 대한 직접적인 답이 될 것이다. 먼저 이해를 돕기 위해 다음 식을 살펴보자. 거의 보통은 위 식을 만족한다. 그냥 단순히 생각해 볼 수 있는 예제 f(x) = 1, g(x) = 1 를 떠올려보자. 각각의 Laplace Transform은 1/s이다. 우변은 1/s^2가 되겠지만, 좌변은 여전히 1/s이다. 만약 Laplace Trasnform의 곱을 f와 g에 대한 식으로 나타내고 싶다면 어떻게 할까? 그래서 고안해 낸 것이 바로 Convolution이다. 표현은 다음과 같다. 이것만 가지고서는 Convolution이 정확히 어떤 ..

Unit-impulse Function (Dirac's Delta Function) 여기서의 정의는 위와 같다. 이전의 포스트와 마찬가지로 Signal and System에서 이미 다루었던 적이 있는 녀석이다. 간단히 말해 극히 작은 시간동안에 크기 1의 Input이 들어오는 것으로 생각하면 된다. 자세한 내용은 링크(http://blastic.tistory.com/53)를 참조하기 바란다. Sifting Property sift 라는 단어는 없다. 여기서의 Sifting Property는 Shifting Property와 헷갈리는 것을 막기위한 것이다. Sift는 체로 치다, 체로 거르다라는 뜻으로 delta function에 의해 g(t)의 t=a에 해당하는 값이 걸러져 나와 유래되었다. (angel..

Unit-step Function Signal and System에서 이미 다루었던 적이 있는 녀석이다. 이 함수에 대해서는 링크(http://blastic.tistory.com/53)를 참조하기 바란다. 여기서는 아래와 같이 정의된다. 어떤 지점 a 에서 값이 점프한다. Signal and System에서 정의된 것은 a = 0, 즉 u(t)인 상태이다. 이제 Unit-step Function의 Laplace Transform을 구해보도록 하자. Unit-step Function이 자주 쓰이는 이유는 이 함수 자체가 어떠한 Switch 역할을 하기 때문이다. 특정한 영역에서만 값을 가지고 그 이외에서는 0이 되는데, 이는 각각 On, Off라고 생각할 수 있다. 즉, u(t) - u(t-2) + u(t..

Derivatives 지난번 포스트에서 'Laplace Transform은 Linear ODE를 푸는 강력한 방법이다.' 라고 소개해 놓고는 정확히 어떤 방법으로 ODE를 간단히 푸는데 Laplace Transform이 도움이 되는지에 대해서는 설명하지 않았다. Derivative를 Laplace Transform 하는 방법은 다음과 같다. f(t)의 Derivative인 f'(t)에 대해서 Laplace Transform을 수행하여 보면, 다음과 같이 식을 쓸 수 있다. Second-level Derivative에 대해서도 마찬가지다. 차수가 더 높아지더라도 결론적으로는 모든 Derivative가 Laplace Transform 이후에는 사라진다. 결론적으로는 단순한 대수학적인 방법만으로 식을 정리할 ..

모든 경우에 대해서 Laplace Transform을 외우는 것이 어렵기 때문에, 여러가지 경우에 대해서, 이러한 Table을 만들어 그때그때 참고하도록 한다. 위에서 설명되지 않은 함수들은 다음 링크를 참조하기 바란다. Γ(k) - http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function J_0(at) - http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function Si(t) - http://en.wikipedia.org/wiki/Sinc_function