정의 Average 이외에 어떤 probability model을 설명할 수있는 요소로 variance와 standard deviation을 들 수있다. 이미 '분산'과 '표준편차'로 익숙한 것들이다. 먼저 어떻게 정의되는지 살펴보자. Variance Standard Deviation 먼저 어떤 RV X의 variance는 VAR[X]와 같이 표현한다. 식을 살펴보면, '평균과 가능한 outcome의 차이를 제곱한 것'의 평균을 구한 것으로, 제곱을 하지 않으면 평균과 outcome의 차이가 음의 값이 나오게 되는 경우에 전체 평균이 상쇄되어, 분산, 즉, 각 outcome간의 거리가 얼만큼씩 벌어져 있는지를 나타내는 수치에 의미가 없어지게 된다. 따라서, 제곱을 해줌으로써 그 값이 항상 양수가 나오도록..

정의 Discrete random variable X 의 probability mass function은 다음과 같이 정의된다. 단, P[X = x]는 X가 x가 될 probability를 말한다. 의미 및 예제 Probability mass function은 어떤 discrete random variable에 대한 probability model이다. 쉽게 이야기 하면, sample space를 구성하는 각각의 outcome마다 어떤 확률을 부여한 것이다. 예를 들어서, 앞면이 나올 확률이 80%, 뒷면이 나올 확률이 20%인 동전이 있다고 하자. Sample space는 S = {H, T}라고 하자. 이 experiment를 random variable X로 나타내면, X는 앞 또는 뒤 둘 중 하나의..

Independent Trials 이전 포스트에서 다루었던 independence와는 약간 다른 개념인데, 그냥 이미 익히 들어서 알고 있는 '독립시행'이 여기서 다루고자 하는 것이다. 즉, 같은 주사위를 몇번이고 던진다든지 하는 것들이 그것이다. 바로 전 포스트에서 sample space의 크기를 측정했다면, 여기서는 그것 보다는 확률의 수치를 가지고 노는 것이라고 생각하면 되겠다. 여기서 다룰 내용은 이후에 다루게 될 내용에도 다시한번 언급이 될 것이다. Success & Failure Model 어떤 experiment를 수행했을때, 특정 event가 발생할 확률이 p라고 하자. 이것을 n (= n_0 + n_1)번 반복했을 때, n_1번 성공하고 n_0번 실패할 확률은 다음과 같이 구할 수 있다...

Counting Methods 확률을 계산하기 위해서는 outcome의 개수를 알 필요가 있다. (어디까지나 discrete한 공간에서의 이야기이다.) 지금까지의 예제들은 모든 outcome들을 일일이 찾아주는 방법을 취했으나 subexperiment가 여러번 겹친다든지, experiment가 복잡한 경우에는 좀 더 간단한 방법을 사용할 필요가 있다. 이 포스트에서는 그 방법에 대해 설명하려고 한다. 대부분의 내용은 중고등학교 교육과정상에 포함되어 있으므로 앞으로 이어질 포스트에 사용될 대략적인 notation 위주로 보아도 무관할 것이다. Fundamental Principle of Counting 여러개의 subexperiment가 있고, 각각의 subexperiment들을 모두 수행했을 때, 가능한..

정의 P[AB] = P[A]P[B] 위 식을 만족하는 Event A와 B는 independent 하며, event A와 B가 independent 하려면 위 식을 만족해야 한다. (필요충분조건) 만약 event A와 B가 nonzero probability, 즉 0이 아닌 확률을 가지는 경우 다음을 만족한다. P[A|B] = P[A], P[B|A] = P[B] 해석 Independence는 말 그래도 event간의 독립성을 말한다. 즉, event간의 간섭이 없고, 종속관계에 속하지 않음을 뜻한다. 왜 독립이기 위해서 P[AB] = P[A]P[B] 이어야 하나요? 라고 묻는다면, '독립의 정의가 그렇게 되어있기 때문에 그렇다.' 라고 대답해 주면 된다. 이전에 들었던 6면체 주사위 예제를 다시 가져와보자..

정의 위 식은 conditional probability의 정의다. (여기서 P[AB] = P[A∩B] 이며 notation이 약간 다를 뿐이다.) Conditional probability, 즉 조건부 확률은 다른 event의 발생을 전제로 다른 event의 확률을 구하는 것이다. 위의 수식처럼 notation은 P[A|B]이며, 'the probability of A given B'라고 읽는다. 이전에 다뤘던 확률은 어떤 event 혹은 outcome이 단순히 일어날 확률을 말한다. 또한, 예를 들어 실험해 보기 전에 6면체 주사위에서 1이 나올 확률이 1/6일 것이라는 것은 굳이 던져보지 않더라도 예상해 볼 수 있는 것이다. 그래서 P[A]를 priori probability of A 또는 prio..