[Probability] Independent Trials

Independent Trials

이전 포스트에서 다루었던 independence와는 약간 다른 개념인데,
그냥 이미 익히 들어서 알고 있는 '독립시행'이 여기서 다루고자 하는 것이다.
즉, 같은 주사위를 몇번이고 던진다든지 하는 것들이 그것이다.
바로 전 포스트에서 sample space의 크기를 측정했다면,
여기서는 그것 보다는 확률의 수치를 가지고 노는 것이라고 생각하면 되겠다.
여기서 다룰 내용은 이후에 다루게 될 내용에도 다시한번 언급이 될 것이다.

Success & Failure Model

어떤 experiment를 수행했을때, 특정 event가 발생할 확률이 p라고 하자.
이것을 n (= n_0 + n_1)번 반복했을 때, n_1번 성공하고 n_0번 실패할 확률은 다음과 같이 구할 수 있다.

예를 들어 당신이 누군가와 체스를 뒀을 때, 이길 확률이 70%라고 한다면,
승패에 관계없이 5번의 경기를 해서 3번을 이기기 위해서는 승승승패패, 승승패승패... 와 같은 방법이 가능하다.
즉 3번의 승리와 2번의 패배를 어느 시점에 할 것인가, 다시 말해 승패를 어떤 순서로 배열할까에 관한 문제가 된다.
각 식의 맨 앞에 나오는 combination은 그것을 나타내고 있다.
엄밀히 이야기하면 여기서 나오는 combination은 일반적인 의미의 combination이라기 보다는,
multinomial coefficient이라고 생각하는 것이 맞지만, 
어쨌든 결과적으로 어떤 방법을 사용하든 동일한 결과가 나오므로, 
표기가 좀 더 간단한 combination의 형태를 쓰고 있다.
뒤이어 나오는 식은 확률을 계산해 준 것이다. 여기서의 예라면 3번 이기고 2번 지는 확률을 나타내게 된다.

여기서 조금 더 어려운 문제는 5판 3선승제와 같은 것을 생각해 볼 수 있다.
즉 3번을 내리 이긴다든가 져 버리는 등, 5번의 승부를 모두 펼치기 이전에 이미 전체 게임이 끝나는 경우가 생겨,
이런 exception에 대한 처리를 해줘야 하기 때문이다.
결론적으로는 위와 같은 공식을 사용하기 곤란해지므로 조금 더 섬세한 계산이 필요하게 된다.

General Model

어떤 subexperiment가 다음과 같은 sample space S를 가지고,

n번의 independent trial이 다음과 같이 정의된다고 했을때,

s_i가 n_i번 등장할 확률은 다음과 같이 계산할 수 있다.

이것이 조금 더 일반적인 경우에 대한 모델이다.
이전에 다뤘던 multinomial coefficient의 형태가 다시 보이고 있다.
이미 앞서 언급했던바와 같이, 중복되는 원소들을 어떻게 조합할 것인가의 문제이다.
다만 여기서는 확률이 추가된 것 뿐이다. 
만약 앞선 문제에서 이기고 지는것 뿐 아니라 비기는 경우를 추가한다고 하자.
이길 확률 70%, 비길 확률 10%, 질 확률 20%라면,
단순히 success & failure model만 가지고는 확률 계산이 힘들다. (불가능한것은 아니다.) 

Success & failure model은 general model 중에 특별한 case라고 할 수 있다.

Reliability

Success and failure model을 좀더 확장시켜보면 각각의 independent trial 간에는 위와 같은 관계들이 가능하다.
W_1, W_2... 는 각각의 trial을 나타내고 있다.

'Components in series'의 경우는 각각의 trial이 연속적으로 이루어지는 것을 말한다.
이 경우에는 3가지 중 하나라도 실패해서는 안된다. 다시 말해서 3가지 모두 성공해야 전체적으로 성공이다.

한편 'Components in parallel'의 경우는 각각의 trial중 어느하나라도 성공하면 된다.
'Complex form'의 경우는 두 가지 경우가 결합된 형태로 나타난다.
각각의 경우에 대해서 우리는 어떻게 확률을 계산할 것인가에 대한 문제에 직면하게 된다.

간단한 예제를 들기 위해서 각각의 trial은 p라는 확률로 성공하고 (1-p)확률로 실패한다고 하자.
Series form이 전체적으로 성공하려면 각각의 확률을 그냥 곱해주면 된다.

Parallel form은 이에 비해서는 조금 더 복잡한 편이다.
예제에서 전체적인 experiment가 실패하기 위해서는 n가지의 trial이 모두 실패해야 한다.
그 이외의 모든 경우에서는 성공이므로, 이것을 이용하면 된다.
실패확률은 (1-p)이므로 n가지가 모두 실패할 확률은 (1-p)^n이다.
따라서 성공할 확률은 1에서 이를 빼주면 된다. 즉, 최종적으로 1-(1-p)^n 이 된다. 

Complex form에 대해서도 이러한 맥락으로 이해하면 된다.
예제를 보면 위 아래로 2개의 trial이 series로 이어져 있고, 다시 두개의 series가 parallel 하게 이어져 있다.
우리는 각각의 series를 하나로 뭉쳐서 볼 수 있다. 두 series는 각각 p^2 의 성공률을 가진다.
전체적으로 모두 실패하려면 두 series가 모두 실패로 돌아가야 한다. 즉 (1-p^2)^2가 된다.
마찬가지로, 전체적으로 성공할 확률은 1-(1-p^2)^2 가 된다.

여러가지의 trial이라든지 혹은 subexperiment가 섞여있는 경우 이런 방식으로 계산하면 된다.